För en relativistisk fri partikel skulle du tro att Lagrangian skulle vara som $$ \ tag {1} L ~ = ~ T ~ = ~ E-E_0 ~ = ~ (\ gamma -1) m_0c ^ 2. \ qquad (\ leftarrow \ text {Visar sig vara fel!}) $$ Detta är inte fallet! Istället är det $$ \ tag {2} L ~ = ~ - \ gamma ^ {- 1} m_0c ^ 2. $$ Dessa två funktioner ser ut som

och är inte desamma. Detta val (2) av kinetisk term ger ett kanoniskt momentum

$$ p ~: = ~ \ frac {\ partial L} {\ partial v} ~ = ~ \ gamma m_0v, $$

som det ska vara.

Bara ett par kommentarer. Den andra är enligt min mening den mest intressanta.

(1) Lagrangian av en laddad partikel i ett tilldelat elektromagnetiskt fält har fortfarande en Lagrangian $ {\ cal L} = TU $, men här $ U $ är inte en standardpositionberoende funktion, eftersom det i allmänhet också beror på $ \ dot {q} $ och $ t $ som är välkänt (se till exempel Jacksons lärobok).

Skillnaden mellan strukturen för $ T $ och $ U $ är nu att beroendet av $ U $ på $ \ dot {q} $ är av första ordningen istället för den andra som i $ T $. Annars kan determinismen ("normaliteten" i Euler-Lagrange-ekvationerna) brytas. Men man kan inte tänka på $ U $ som en potentiell energi. Samma struktur av $ U = U (t, q, \ dot {q}) $ uppstår om man inkluderar i $ {\ cal L} $ tröghetskrafter när man arbetar i en generisk icke-tröghetsreferensram.

(2) Betrakta en klassisk partikel på den verkliga linjen nedsänkt i en vätska som ger upphov till en friktionskraft $ - \ gamma v $, med $ \ gamma>0 $ konstant. Vi kan också anta att det finns en positionskraft med potentiell energi $ U = U (x) $. $ M>0 $ är partikelns massa och vi använder dess koordinat $ x $ som Lagrangian-koordinat. Detta system är inte oförändrat vid tidsomvandling, men det finns en Lagrangian för detta system:

$$ {\ cal L} (t, x, \ dot {x}) = e ^ {\ gamma t / m} \ left (\ frac {1} {2} m \ dot {x} ^ 2 -U (x) \ right) \:. $$

Det producerar faktiskt omedelbart rätt newtonska ekvation:

$$ m \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = - \ frac {dU} {dx} - \ gamma \ frac {dx} {dt} \:. $$

I en av hans klassiska mekanikföreläsningar (jag tror den senaste uppsättningen) svarade Leonard Susskind på en liknande fråga genom att säga (och jag kan inte citera direkt eftersom jag inte har videon framför mig) att Lagrangians är helt enkelt funktioner som leder till rätt rörelseekvationer. Jag ska tillägga att dessa rörelseekvationer kan lösas och det resulterande beteendet jämfört med naturen som ett test på korrekthet. Susskind fortsatte i dag att det inte finns någon regel att ett systems Lagrangian måste vara T - U och att det kan finnas "tvärvillkor" som beskriver vissa interaktioner. Han gick vidare för att säga något som verkligen höll fast vid mig, och det är när vi lär oss kalkyl, vi frågar aldrig: "Varifrån får vi de funktioner som vi lär oss att analysera?" Vi gör dem i princip eller gissar dem eller drar dem från observerade beteenden (i fysik, hur som helst). Detta uttalande verkade ganska djupgående för mig.

Definition av Lagrangian-funktionen

Enligt Landau-Lifchitz-kursen innehåller definitionen av principen om minst åtgärd två väsentliga punkter.

• Först berättar den oss att vilket mekaniskt system som helst kännetecknas av en funktion som beror på generaliserade koordinater, på första gången derivat av generaliserade koordinater och på tiden. En sådan funktion kallas Lagrangian.

• Den andra punkten handlar om själva minimeringsproblemet. Systemets rörelse uppfyller följande. Tänk på två distinkta ögonblick och tillhörande generaliserade koordinater som beskriver systemets position vid dessa två ögonblick. Mellan dessa två punkter görs rörelsen så att integriteten i Lagrangian-funktionen mellan dessa två ögonblick minimeras.

Därifrån kan du få Lagranges ekvation. Ingenting sägs om $ L = T-U $.

Uttryck av Lagrangian för en fri partikel

Med tanke på en fri materialpunkt väljer vi att beskriva rörelsen i en viss typ av ram. En ram där utrymmet kan betraktas som homogent, isotropiskt och där tiden är enhetlig verkar vara det klokaste valet. Om vi ​​antar att en sådan ram existerar (det kallas en galilensk referensram), vilken form skulle det vara Lagrangian?

Eftersom utrymmet är homogent kan Lagrangian inte innehålla någon term som involverar de generaliserade koordinaterna. Med andra ord kan rörelselagarna inte bero på var systemet egentligen är. Eftersom tiden också är homogen får vi samma slutsats, tiden kan inte uttryckligen visas i Lagrangian.

Utrymmet är också isotropiskt, det betyder att rörelsens lagar inte kan bero på rörelsens riktning i rymden. Då beror Lagrangian bara på hastighetsnormen och därmed inte på hastighetsvektorns riktning. Då beror Lagrangian-funktionen bara på hastighetens absoluta värde eller på hastigheten på hastighetsvektorn. $ L = a v ^ 2 $.

Om du lägger detta formulär i Lagranges ekvation får du att $ v ^ 2 $ är en konstant oberoende av tid. Då får du Newtons första lag. Att driva detta resonemang med studiet av två galiliska ramar som flyttar från en till en annan kommer att sluta på L proportionellt mot hastighetens kvadrat.

Allmänt uttryck för Lagrangian

Tänk på att ett isolerat system utgör av flera partiklar. Du kan beskriva interaktionerna mellan alla partiklar med en funktion som bara beror på positionen för varje partikel. Du kan kalla den här funktionen $ -U $.

Det är viktigt att se varför den här funktionen inte kan bero på tiden. I klassisk mekanik anser vi att interaktionen sprider sig omedelbart från en partikel till en annan. Då kan tiden inte uttryckligen visas i denna -U-funktion.

Därför är den allmänna formen för Lagrangian-funktionen $ L = T-U $. Med hjälp av tidens enhetlighet och Lagranges ekvationer kommer du att kunna upptäcka att en viss kvantitet inte beror på tiden: $$ E = \ sum_i \ dot {q_i} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q_i }} - L $$ Med formen $ TU $ för Lagrangian, ovanstående relation och Eulers homogena funktionssats får du: $$ E = T + U $$ Nu, och bara nu, kan du säga att den totala rörelsens energi är summan av två distinkta termer. Den första beror bara på hastighet och kallas kinetisk energi. Den andra termen beror bara på position och den kallas potentiell energi.

Handlingsintegralen kan vara i "Jacobi-handling" -form, som ser ut som:

$$ S = 2 \ int ^ {B} _ {A} \ sqrt {(EV) T} \ , \ mathrm {d} t $$

där vanligtvis $ E $ är konstant, $ V = V (x) $ är den potentiella energin och $ T = 2m $ är den kinetiska energin.

För mer om detta, se:

1. Brown, JD och JW York (1989). "Jacobis handling och återhämtning av tid i allmän relativitet". Fysisk granskning D40 , 3312–3318. doi: 10.1103 / PhysRevD.40.3312.
2. Lanczos, C. (1970). De mekaniska variationernas principer . University of Toronto Press, Toronto.

Det finns många andra versioner för att härleda rörelseekvationer från variationskalkyl, se:

1. Spivak, M. ( 2010). Fysik för matematiker, mekanik I . Publicera eller förgås.

Poängen är ganska subtil för en icke-matematiskt kompetent fysiker, eftersom skillnaden är ganska teknisk. Enligt Arnold (se referenser) ger vi följande definitioner.

Definition. Låt $ M $ vara ett differentierbart grenrör, $ TM $ dess tangentbunt och $ L: TM \ till M $ en differentierbar applikation. En applikation $ \ gamma: \ mathbb R \ till TM $ är en rörelse i ett lagrangiskt system med konfigurationsgrenröret TM och lagrangianfunktionen $ L $ om och endast om $ \ gamma $ är extrem för den funktionella

\ begin {ekvation} \ Phi (\ gamma) = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ mbox {dt} \, L (\ punkt {\ gamma}). \ slut {ekvation} $ \ dot {\ gamma} $ sägs hastighetsvektor , $ \ dot {\ gamma} (t) \ i TM _ {\ gamma (t)}. $

Lokala koordinater $ q_1, \ dots, q_n $ för punkten $ \ gamma (t) $ utvecklas enligt Euler-Lagrange-ekvationen

\ begin {ekvation} \ frac {\ partiell L} {\ partial q} = \ frac {\ mbox {d}} {\ mbox {d} {t}} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}}. \ end {ekvation}

Antag nu att $ M $ är ett riemannian grenrör , dvs ett par $ (M, g) $, med $ M $ differentierbart grenrör och $ g $ en positivt bestämd kvadratisk form, brukar anges som $ \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle $. I det här fallet, och endast i det här fallet , kan vi definiera en kinetisk energi som vanligtvis menas:

Definition Låt $ M $ vara en riemannian grenrör. En kvadratisk form $ K = \ frac {1} {2} \ langle v, v \ rangle $, där $ v \ i TM_x $, definierad på alla tangentbuntar kallas kinetisk energi . Vi säger att $ U $ är en potentiell energi om och bara om $ U: M \ till \ mathbb R $ är en differentierbar funktion.

Definition. Ett lagrangiskt system på en riemannian grenrör sägs naturligt om och bara om $ L = K - U $, för vissa $ K $ och $ U $ som tidigare definierats.

I klassisk mekanik behandlar man hela tiden riemanniska grenrör (förutom "patologiska" situationer), så han bryr sig inte om skillnaden. Om så är fallet, i grundkurser som ett problem aldrig uppstår. Men det bör påpekas (av lärare menar jag) att Minkowski-rymden $ \ mathcal M ^ 4 $ med speciell relativitet är inte ett riemannian-grenrör, det är faktiskt en pseudo-riemannian one (mätvärdet är inte positivt-definitivt), så definitionen av lagrangian måste tas med försiktighet. Det är uppenbart att situationen i allmän relativitet är ännu mer "dramatisk" och att definiera en lagrangian är ett icke-trival problem.

Det mest kända exemplet på en sådan lagrangian är, tror jag, ett fri partikel i speciell relativitet: $ L = -mc ^ 2 \ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} $. (Se Goldstein)

Referenser. V.I. Arnold, Matematiska metoder för klassisk och himmelsk mekanik , kapitel IV.ùH. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Klassisk mekanik , 3d-upplaga, par. 7.9.

Såvitt jag vet definieras $ L $ i klassisk mekanik exakt som skillnad mellan kinetisk och potentiell energi. Omvänt är det Hamiltonian som inte alltid är lika med $ T + U $, och bör definieras som Legendre-transform av Lagrangian.

I mer komplicerade modeller, som i fältteori, Lagrangian kan vara mer komplicerad. Detta beror på att Lagrangians, som Hamilton-operatörer inom kvantmekanik, inte bestäms av en universell regel eller av en teorem. De väljs endast för att de fungerar , dvs på grund av en analogi med klassisk mekanik, eller för att de leder till fysiskt verifierade Euler-ekvationer. I det här fallet finns det ingen speciell anledning för vilken en lagrangian ska kunna separeras i två olika $ U $ och $ T $ termer.

För att härleda fältekvationerna för allmän relativitet (i vakuum) är Lagrangian-densiteten helt enkelt Ricci skalar, som mäter avvikelser från plan tid. Detta är ett bra exempel på en Lagrangian som inte har någon verklig "energi" -tolkning: i vakuum finns det tydligt ingen energi i klassisk mekanik!

I) Det är intressant att observera att om den Hamiltoniska $ H = \ frac {p ^ 2} {2m} + U $ har formen kinetisk plus potentiell energi, så är kallas Hamiltonian Lagrangian

$$ \ tag {A} L_H ~: = ~ p \ dot {q} -H ~ = ~ \ understöd {(p \ dot {q} - \ frac {p ^ 2 } {2m})} _ {\ approx ~ \ frac {m} {2} \ dot {q} ^ 2} - U $$

har också formen kinetisk minus potentiell energi om vi använder en av Hamiltons ekvationer $ p \ approx m \ dot {q} $. Off-shell, en sådan tolkning är mer utmanande. (Här avser orden on-shell och off-shell om rörelseekvationerna (eom) är uppfyllda eller inte.)

II) En mer allmän Hamiltonian Lagrangian har formen

$$ \ tag {B} L_H ~ = ~ \ theta_I \ dot {z} ^ I - H - \ lambda ^ a \ chi_a, $$

där $ z ^ I $ är de grundläggande variablerna i teorin, $ \ theta = \ theta_I (z) \ mathrm {d} z ^ I $ är en (pre) symplektisk potential enform, $ H = H (z) $ är Hamiltonian, $ \ lambda ^ a $ är Lagrange-multiplikatorer och $ \ chi_a = \ chi_a (z) $ är begränsningar. Det finns flera mekanismer i den Hamiltoniska formuleringen som kan komplicera eller till och med hindra en tolkning som kinetisk minus potentiell energi för den Hamiltonian Lagrangian $ L_H $:

a) The Hamiltonian $ H $ har inte formen kinetisk plus potentiell energi.

b) Begränsningar $ \ chi_a $ är bara nöjda on-shell. Off-shell, the begreppet $ \ lambda ^ a \ chi_a $ har ingen tolkning som kinetisk eller potentiell energi.

c) Tvåformen $ \ omega = \ mathrm {d} \ theta $ kan degenereras, dvs fasutrymmet kan vara presymplectic snarare än symplectic. I sådana fall finns det ingen Darboux-sats för att säkerställa att $ \ theta $ är lokalt av formen $ p_i \ mathrm {d} q ^ i $.

III) Om OP bara vill ha ett enkelt exempel, här är ett exempel på en fri punktpartikel i två dimensioner [1]

$$ \ tag {C} L ~ = ~ m \ dot {x} \ dot { y}. $$

Denna Lagrangian (C) skiljer sig från den kinetiska energin & standard Lagrangian

$$ \ tag {D} L_0 ~ = ~ T ~ = ~ \ frac {m} {2} (\ dot {x} ^ 2 + \ dot {y} ^ 2). $$

Ändå är Euler-Lagrange-ekvationerna desamma:

$$ \ tag {E} \ ddot {x} ~ = ~ 0 ~ = ~ \ ddot {y}. $$

Det är en enkel övning att kontrollera att Lagrangian (C) inte är trivial i OP: s mening 1 & 2, dvs att skillnaden mellan $ L $ och $ L_0 $ (där den senare multipliceras med en konstant $ \ alpha $) är aldrig en total tidsderivat:

$$ \ tag {F} L- \ alpha L_0 ~ \ neq ~ \ frac {dF} {dt}. $$

Tips för att bevisa ekv. (F): Det räcker att kontrollera att det funktionella derivatet av $ \ int \! \ mathbb {d} t ~ (L- \ alpha L_0) $ är icke-noll. Varför?

IV) För ett annat elementärt exempel, se detta Phys.SE-inlägg.

Referenser:

1. M . Henneaux, Rörelseekvationer, kommutationsförhållanden och tvetydigheter i den lagrangiska formalismen, Ann. Phys. 140 (1982) 45.

Observera också att det finns många exempel i fluidmekanik där $ L \ neq T-V $. Särskilt när referensramen Eulerian används. Till exempel, för irrotationella djupvattenytor för gravitation, skrivs Lagrangian som

$ L = \ int \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ eta} \ phi_t + \ frac {1 } {2} (\ nabla \ phi) ^ 2 \ dz \ right) + \ frac {g} {2} \ eta ^ 2 \ dx $

där $ \ phi $ är hastighetspotentialen, $ g $ är accelerationen på grund av tyngdkraften och $ \ eta $ är ythöjden. I det här fallet, $ L \ neq T-V $, snarare kan vi känna igen det som (minus) trycket vid den fria ytan. Detta är fallet eftersom omvandlingen från Lagrangian (i betydelsen att följa partiklar i vätskan) till Eulerian-variabler inte är kanonisk.

Observera också att Lagrangian densitet ger unik dynamik upp till multiplikation med konstanter och tillsats av perfekta lutningar.

Jag betraktade alltid det kanoniska exemplet som lagrangian för en punktladdning (med laddning $ q $ och massa $ m $) i ett externt EM-fält: $ L (\ vec {x}, \ vec {v}) = \ frac {1} {2} mv ^ 2 -q \ phi + q \ vec {A} (\ vec {x}) \ cdot \ vec {v} $, där $ \ phi $ är den skalära potentialen för elektriskt fält, och $ \ vec {A} $ är vektorpotentialen för magnetfältet.

Jag antar att fallet att du kan skriva $ L = TU $ har strukturen $$ L = T (\ dot {q}) - U (q) $$ med $ T (\ dot {q}) $ som kinetisk energi beroende på momentum / hastighet $ \ dot {q} $ och $ U ({q}) $ som potentiell energi beroende på koordinaterna $ {q} $.

2 + 1D Chern-Simons teori är ett exempel som inte kan skrivas i denna form.

För icke-abelska har Chern-Simons åtgärden $$ S = \ int L dt = \ int \ frac {k} {4 \ pi} \ big (a \ wed da + (2/3) a \ wedge a \ wedge a \ big) $$

Även för Abelian Chern-Simons teori, har åtgärden $$ S = \ int L dt = \ int \ frac {k} {4 \ pi} \ big (a \ wedge da \ big) $$ vilket gör jobbet.

Det abeliska 1-formiga mätfältet har $ a = a_0 dt + a_1 dx_1 + a_2 dx_2 $ Om du väljer tidsmätare $ a_0 = 0 $ kommer du att se den abelska tjern- Simons teori har formen: $$ S = \ int L dt = \ int \ frac {k} {4 \ pi} \ big (a_2 \ frac {\ partial} {\ partial t} a_1 -a_1 \ frac {\ partial } {\ partial t} a_2 \ big) \; dt \, dx_1 \, dx_2 $$

Genom att identifiera $ a_1 \ sim x $ och $ a_2 \ sim y $ så är Lagrangian så effektivt som: $$ \ boxed {L = \ frac {k} {4 \ pi} \ big (\ dot {x} \; y - \ dot {y} \; x \ big) = \ dot {\ vec {q}} \ cdot \ vec {A} (x, y)} $$

där $ \ vec {q} = (x, y) $ och $ \ vec {A} = (A_x, A_y) = \ frac {k} {4 \ pi} (y, -x) $.

Det är effektivt som ett kvantmekaniskt proffs blem - en partikel med förskjutning $ \ vec {q} $ som rör sig i ett enhetligt magnetfält: $ B = \ nabla \ times A = - \ frac {k} {2 \ pi} \ hat {z} $.

Du ser att Chern-Simons-teorin härleder $ L = \ frac {k} {4 \ pi} \ big (\ dot {x} \; y - \ dot {y} \; x \ big) = \ punkt {\ vec {q}} \ cdot \ vec {A} (x, y) $ följer inte denna struktur $ L = T (\ punkt {q}) - U (q) $.

Ett annat exempel, som utökar Qmechanic-svaret, kan vara 2D-harmonisk oscillator med Lagrangian:

$ L = m \ dot {q} _1 \ dot {q} _2 - m \ omega ^ 2q_1q_2 $

denna lagrangian har samma EoM som den vanliga harmoniska oscillatorn, men den är helt annorlunda, Noether-satsen gör en stor röra av de vanliga symmetrier och de konserverade mängderna, till exempel vinkelmomentet $ l = m (q_1 \ dot {q} _2-q_2 \ dot {q} _1) $ har en klämande symmetri associerad med sig:

$$ \ left \ {\ begin {array} {l} q_1 \ mapsto q'_1 = e ^ {- \ eta} q_1 \\ q_2 \ mapsto q'_2 = e ^ {\ eta} q_2 \ end {array} \ right. $$

det är snällt av konstigt, men en trevlig sak.

I fall av skalära fält tar Lagrangian inte längre formen av kinetisk minus potential utan generaliseras som kinetisk energi minus gradientenergi minus potentiell energi.