Det är relativt lätt att få konstant ljushastighet som konstant natur från Galileiska ekvivalens hos tröghetsobservatörsprincipen.
GP säger att två observatörer, som rör sig med (vilken som helst) konstant hastighet relativt varandra, är ekvivalenta, det vill säga att de båda beskriver den fysiska verkligheten på samma sätt.
I synnerhet betyder det att de delar samma kinematikprinciper, och att de använder isomorfa koordinatramar. Det är om observatör O har detta koordinatsystem $ (t, x) $ och observatör O 'har $ (t', x ') $, de är relaterade. Om vi betraktar det enklaste förhållandet, linjärt beroende, beskrivs det av följande ekvationer som gäller för observatör O ':
$$ x '= vid + bx $$
$$ t '= ct + dx $$
Eftersom observatör O är ekvivalent med observatör O 'och den fysiska verkligheten observerad från koordinatram O är exakt densamma, samma förhållanden måste gälla för observatör O :
$$ x = vid '+ bx' $$
$$ t = ct '+ dx' $$
Observera att samma koefficienter a, b, c, d används!
Om O och O 'har synkroniserade klockor kan vi kombinera båda beskrivningarna och försöka få ytterligare krav på koefficienterna a, b, c, d, som beskrivs (på polska), här. Antag att O och O 'rör sig med relativ hastighet V.
Vi måste definiera (okänd) funktion d (V)
$$ x = d (x '+ Vt') $$
$$ t = d (t '+ x' V \ frac {1-d ^ {- 2}} {V ^ 2}) $$
Om vi antar att det finns tredje observatör O '' som rör sig med hastigheten U relativt observatören O 'kan vi fråga, vad är hennes hastighet för observatör O? Med ovanstående formler får vi följande resultat:
$$ O ("U + V") = \ frac {U + V} {1 + UV \ frac {1 + d ^ {- 2} (V)} {V ^ 2}} $$
Om vi ställer in att $ d (V) = 1 $, får vi den galiliska fysiken återställd. Men det finns inget argument för att göra detta!
Vi använde observatör O som bas, och observatör O rörde sig med hastighet V relativt den. En annan observatör O '' rörde sig med hastigheten U relativt O ', och vi får relaterad hastighet för O' 'giltig för observatör O. Hastighet U var hastigheten för O' 'i ram O' som "drogs" för ram O 'wirth "draging speed" of V.
Vad händer om vi skulle börja med observatören O '' och beräkna detsamma? Eftersom O och O 'är ekvivalenta är den enda skillnaden att denna "draghastighet" är U medan en annan, V skulle vara relativt O'. Med andra ord utbyter U och V sin roll. Det betyder att den relativa hastigheten $ O ("U + V") $ och $ O '' ("V + U") $ måste vara densamma! Observatörer är likvärdiga, kom ihåg!
Så vi kan skriva:
$$ \ frac {U + V} {1 + UV \ frac {1 + d ^ {- 2} (V)} {V ^ 2}} = \ frac {V + U} {1 + VU \ frac {1 + d ^ {- 2} (U)} {U ^ 2}} $$
Efter ordning av termer får vi följande formel:
$$ \ frac {1 + d ^ {- 2} (V)} {V ^ 2} = \ frac {1 + d ^ {- 2} (U)} {U ^ 2} $$
Det finns bara ett sätt att uppfylla följande ekvation: $ f (x) = f (y) $. $ f (x) $ måste vara konstant! Så hela fraktionen.
Vi får slutresultatet:
$$ \ frac {1 + d ^ {- 2} (V)} {V ^ 2} = C $$
varifrån dimensionell analys cames att konstant C har dimensionen 1 / hastighet ^ 2. Det måste vara universellt konstant förutsatt att GP är giltigt och strikt galilisk fysik återställs när C är lika med 0.
Funktion $ d (V) $ är som följer:
$$ d (V) = \ frac {1} {\ sqrt {(1-CV ^ 2)}} $$
På detta sätt får vi Lorentz-transformationer förutsatt att GP och följer allmänna regler med linjärt förhållande mellan tre tröghetsobservatörer.
Om vi vill veta värdet på (okänd ännu) konstant C bör vi utföra olika experiment. Men vi kanske märker att Lorenz-transformationer lämnar Maxwell-ekvationerna oförändrade, och det ger oss samband mellan vår konstanta C och ljusets hastighet i vakuum:
$$ C = \ frac {1} {c ^ 2} $$
Resonemanget ovan utfördes (och publicerades på 60-talet) av den polska fysikern Andrzej Szymacha.