De föregående svaren återställer problemet som "Arbetet är kraftpunkt / gångavstånd". Men detta är inte riktigt tillfredsställande, för du kan då fråga "Varför är arbetskraften punktavstånd?" och mysteriet är detsamma.

Det enda sättet att svara på frågor som detta är att förlita sig på symmetriprinciper, eftersom dessa är mer grundläggande än rörelsens lagar. Med hjälp av Galilean invariance, symmetrin som säger att fysikens lagar ser likadana ut för dig i ett tåg i rörelse, kan du förklara varför energi måste vara proportionell mot massan gånger hastigheten i kvadrat.

Först behöver du för att definiera kinetisk energi. Jag kommer att definiera det enligt följande: den kinetiska energin $ E (m, v) $ för en boll av lera med en massa $ m $ som rör sig med hastighet $ v $ är mängden kalorier av värme som den gör när den smälter in i en vägg . Denna definition hänvisar inte till någon mekanisk mängd, och den kan bestämmas med hjälp av termometrar. Jag kommer att visa att, förutsatt att den galiliska invariansen, $ E (v) $ måste vara hastigheten på hastigheten.

$ E (m, v) $, om den är invariant, måste den vara proportionell mot massan , för att du kan smacka två lerkulor sida vid sida och få dubbelt så mycket värme, så

$$ E (m, v) = m E (v) $$

Ytterligare, om du slår två identiska lerkulor med massan $ m $ som rör sig med hastigheten $ v $ front-in i varandra, stannar båda kulorna, med symmetri. Resultatet är att var och en fungerar som en vägg för den andra, och du måste få en mängd värme som är lika med $ 2m E (v) $.

Men titta nu på det i ett tåg som rör sig längs med en av bollarna före kollisionen. I denna referensram börjar den första bollen stoppad, den andra bollen träffar den till $ 2v $ och det tvåbolliga fasta systemet hamnar i rörelse med hastigheten $ v $.

Den andra kulans kinetiska energi är $ mE (2v) $ i början, och efter kollisionen har du $ 2mE (v) $ kinetisk energi lagrad i den kombinerade kulan. Men uppvärmningen som genereras av kollisionen är densamma som i det tidigare fallet. Så det finns nu två $ 2mE (v) $ termer att tänka på: den ena representerar värmen som genereras av kollisionen, som vi såg tidigare var $ 2mE (v) $, och den andra representerar den energi som lagrats i den rörliga, dubbelmassan boll, vilket också är $ 2mE (v) $. På grund av energibesparing måste dessa två termer lägga till den kinetiska energin i den andra bollen före kollisionen:

$$ mE (2v) = 2mE (v) + 2mE (v) $$

$$ E (2v) = 4 E (v) $$

vilket innebär att $ E $ är kvadratisk.

Icke-cirkulär kraft gånger -distans

Här är den icke-cirkulära versionen av argumentet force-times-distance som alla verkar älska så mycket, men görs aldrig korrekt. För att argumentera för att energi är kvadratisk i hastighet räcker det att fastställa två saker:

• Potentiell energi på jordytan är linjär i höjd
• Objekt som faller på Jordens yta har konstant acceleration

Resultatet följer därefter.

Att energin i ett konstant gravitationsfält är proportionell mot höjden fastställs genom statik. Om du tror på spakens lag kommer ett objekt att vara i jämvikt med ett annat föremål på en spak när avstånden är omvänt proportionella mot massorna (det finns enkla geometriska demonstrationer av detta som inte kräver mer än det faktum att lika massobjekt balanserar vid lika avstånd från masscentrum). Om du sedan lutar spaken lite är masstider-höjden med 1 lika med mass-gånger-höjden som den andra fått. Detta gör att du kan lyfta föremål och sänka dem med mycket liten ansträngning, så länge masstiden-höjden som läggs över alla föremål är konstant före och efter. Detta är Archimedes princip.

Ett annat sätt att säga samma sak använder en hiss som består av två plattformar förbundna med en kedja genom en remskiva, så att den ena går ner när den ena går upp. Du kan lyfta ett objekt om du sänker lika mycket massa ner med samma mängd. Du kan lyfta två objekt ett visst avstånd i två steg, om du släpper ett objekt dubbelt så långt.

Detta fastställer att för alla reversibla rörelser i hissen, de som inte kräver att du gör något arbete (både i den allmänna och fysiska meningen --- de två föreställningarna sammanfaller här), bevaras mass-gånger-höjden som summeras över alla objekt. "Energin" kan nu definieras som den rörelsemängd som bevaras när dessa objekt får röra sig med en icke-oändlig hastighet. Detta är Feynmans version av Archimedes.

Så mass-gånger-höjden är ett mått på den ansträngning som krävs för att lyfta något, och det är en bevarad kvantitet i statik. Denna kvantitet bör bevaras även om det finns dynamik i mellanliggande steg. Med detta menar jag att om du låter två vikter falla medan du hänger på en snöre, låter dem göra en elastisk kollision och fångar de två föremålen när de slutar röra sig igen, du gjorde inget arbete. Objekten bör sedan gå upp till samma totala massa-gånger-höjd.

Detta är den ursprungliga demonstrationen av lagarna om elastiska kollisioner av Christian Huygens, som hävdade att om du släpper två massor på pendlar, och låt dem kollidera, deras masscentrum måste gå upp till samma höjd om du fångar bollarna vid sin maximala punkt. Från detta generaliserade Huygens lagen om bevarande av potentiell energi implicit i Archimedes för att härleda lagen om bevarande av kvadrathastighet i elastiska kollisioner. Hans princip att masscentrum inte kan höjas genom dynamiska kollisioner är det första uttalandet om energibesparing.

För fullständighetens skull är det faktum att ett objekt accelererar i ett konstant gravitationsfält med enhetlig acceleration en konsekvens av galilisk invarians, och antagandet att ett gravitationsfält är ram invariant till enhetliga rörelser upp och ner med en stadig hastighet. När du väl vet att rörelse i konstant tyngdkraft är konstant acceleration vet du att

$$ mv ^ 2/2 + mgh = C $$

så att Huygens dynamiska kvantitet som är additivt konserverad tillsammans med Archimedes massa gånger höjd är hastigheten kvadrat.

Frågan är särskilt relevant ur en didaktisk synvinkel eftersom man måste lära sig att skilja mellan energi (arbete) och momentum (kvantitet rörelse).

Den kinematiska egenskapen som är proportionell mot $ v $ kallas för närvarande momentum, det är "rörelsemängden" som finns i ett rörligt objekt, dess definition är $ p: = mv $.

förändringen av momentum är proportionell mot impulsen: impulsen är produkten av en kraft $ F $ och tidsperioden $ \ Delta t $ den tillämpas. Denna relation är också känd som Newtons andra lag: $ F \ Delta t = \ Delta p $ eller $ F dt = dp $. När man ersätter $ mv $ mot $ p $ får man sin vanligare form: $ F = m \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = ma $.

Nu för en intuitiv förklaring att ett objekt med dubbel hastighet har fyra gånger så mycket kinetisk energi.
Säg A har hastighet $ v $ och B är ett identiskt objekt med hastighet $ 2v $.
B har en dubbel rörelse (momentum) - det är om din intuition är korrekt!
Nu använder vi en konstant kraft $ F $ för att sakta ner båda objekten till stillastående. Från $ F \ Delta t = \ Delta p $ följer att tiden $ \ Delta t $ som behövs för att B ska sakta ner är dubbelt så mycket (vi använder samma kraft på A och B). Därför kommer bromssträckan för B att vara en faktor 4 större än bromssträckan för A (dess starthastighet, och därför dess medelhastighet, är dubbelt så mycket, och dess tid $ \ Delta t $ är dubbelt så mycket, avståndet, $ s = \ bar {v} \ Delta t $, ökar 2 x 2 = 4 gånger).
Arbetet $ W $ som behövs för att sakta ner A och B beräknas som produkten av kraften och bromssträcka $ W = Fs $, så detta är också fyra gånger så mycket. Den kinetiska energin definieras som denna mängd arbete, så där är vi.

Låt mig bara kasta in en intuitiv förklaring. Du kan omformulera din fråga som:

Varför ökar hastigheten bara som kvadratroten av kinetisk energi, inte linjärt?

Tja, släpp en boll från en meters höjd och den har hastighet v när den träffar marken.

Släpp den nu från en höjd av 2 meter. Kommer den att ha en hastighet på 2v när den träffar marken?

Nej, eftersom den går den andra mätaren på mycket kortare tid (eftersom den redan rör sig), så den har mindre tid att få fart.

Den enda verkliga fysiska orsaken (som egentligen inte är ett helt tillfredsställande svar) är att $ E \ sim v ^ 2 $ är vad experiment säger oss. Till exempel är gravitationell potentialenergi på jordytan proportionell mot höjden, och om du tappar ett föremål kan du mäta att höjden det faller är proportionell mot kvadrat av dess hastighet. Om energin ska bevaras så måste den kinetiska energin vara proportionell mot $ v ^ 2 $.

Naturligtvis kan du ifrågasätta varför gravitationspotentialen är proportionell mot höjden, och när den en gång har lösts , fråga varför någon annan typ av energi är proportionell mot något annat, och så vidare. Vid någon tidpunkt blir det en filosofisk fråga. Slutsatsen är att definiera kinetisk energi som ska vara proportionell mot hastigheten kvadrat har visat sig vara en användbar teori. Därför gör vi det.

Å andra sidan kan man alltid säga att om det var linjärt i hastighet skulle det kallas momentum ;-)

P.S. Det kan vara värt att nämna att kinetisk energi inte är exakt proportionell mot $ v ^ 2 $. Specialrelativitet ger oss följande formel:

$ K = mc ^ 2 \ left (1 / \ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2} - 1 \ right) $

För låga hastigheter är detta i princip lika med $ mv ^ 2/2 $.

Bara för att skicka en annan, mer matematisk version av denna som inte är beroende av termodynamik, utan snarare bara vektorkalkyl och Newtons lagar, låt oss betrakta Newtons andra lag:

$$ \ sum {\ vec F} = m {\ vec a} $$

Tillämpa nu definitionen av arbete, $ W = \ int d {\ vec s} \ cdot {\ vec F} $

Vi har, förutsatt att $ s $ är den faktiska sökvägen för partikeln, och använder några smarta förändringar av variabler:

$$ \ begin {align} \ sum W & = m \ int d {\ vec s (t)} \ cdot {\ vec a} \\ & = m \ int dt \ frac {d {\ vec s}} {dt} \ cdot {\ vec a} \\ & = m \ int dt \, {\ vec v} \ cdot {\ vec a} \\ & = m \ int dt \, {\ vec v} \ cdot \ frac {d {\ vec v}} {dt} \\ & = m \ int {\ vec v} \ cdot d {\ vec v} \\ & = \ frac {1} {2} m \ left (v_ {f} ^ {2} - v_ {i} ^ {2} \ right ) \\ & = \ Delta {\ rm KE} \ end {align} $$

Så vi ser att definitionen av arbete är synonymt med kvadratiskt beroende av hastigheten. Vem bryr sig? Nå, nu fixar vi några krav på kraften. Vi antar att våra styrkor är konservativa. Vad betyder det här? Det betyder att vår kraft är krullfri $ \ rightarrow {\ vec \ nabla} \ times {\ vec F} = 0 $. Detta motsvarar matematiskt många saker, men de viktigaste två är att $ \ int d {\ vec s} \ cdot {\ vec F} $ beror inte på vägen du integrerar över, utan bara kurvornas slutpunkter och för det andra att $ {\ vec F} = - {\ vec \ nabla} \ phi $ för någon funktion $ \ phi (x, y, z, t) $. När du väl vet det är det relativt enkelt att visa att $ \ int {\ vec ds} \ cdot {\ vec F} = \ phi_ {0} - \ phi_ {f} $

Då har du :

$$ 0 = \ Delta {\ rm KE} + \ sum \ Delta {\ rm PE} _ {i} $$

där summan överstiger potentialen för de olika krafterna (och jag ersatte PE på ett otydligt sätt med $ \ phi $, eftersom vi uppenbarligen talar om potentiell energi nu.) Vi har nu bevisat att den totala energin inte förändras. Därför ger standarddefinitionen av arbete oss en konserverad kvantitet, som vi kan kalla energi (så länge vi antar frånvaron av icke-konservativa krafter, men i närvaro av dessa sparas inte energi, och vi börjar behöva oroa oss för värmeförluster och strålning).

Som Piotr föreslog att acceptera definitionen av arbetet $ W = \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} $, följer att den kinetiska energin ökar kvadratiskt. Varför? Eftersom kraften och det oändliga intervallet beror linjärt på hastigheten. Därför är det naturligt att tänka att om du multiplicerar båda kvantiteterna måste du sluta med något som $ K v ^ {2} $, där $ K $ är en 'godtycklig' konstant.

A mycket mer intressant fråga är varför Lagrangian beror på hastigheten i kvadrat. Med tanke på rymdets homogenitet kan det inte innehålla uttryckligen $ \ mathbf {r} $ och med tanke på tidens homogenitet kan det inte bero på tiden. Eftersom rymden är isotropiskt kan Lagrangian inte innehålla hastigheten $ \ mathbf {v} $. Därför bör det nästa enklaste valet vara att Lagrangian måste innehålla hastigheten i kvadrat. Jag tror att Lagrangian är mer grundläggande till sin natur än de andra storheterna, men dess härledning innefattar definitionen av arbete eller motsvarande energi. Så förmodligen kommer du inte att köpa tanken att den sista förklaringen är den verkliga orsaken till att den kinetiska energin ökar kvadratiskt, även om jag tycker att den är mycket mer tillfredsställande än den första förklaringen.

In kommer ner till definitioner.

Momentum definieras som $ p = mv $. Momentum växer linjärt med hastighet vilket gör momentum till en kvantitet som är intuitivt att förstå (ju mer moment desto svårare är ett objekt att stoppa). Kinetisk energi är en mindre intuitiv kvantitet associerad med ett objekt i rörelse. KE tilldelas så att den momentana förändringen i KE ger momentet för det objektet vid varje given tidpunkt:

$ \ frac {dKE} {dv} = p $

En separat en fråga man kan ställa är varför bryr vi oss om denna mängd? Svaret är att i ett system utan friktion bevaras summan av ett objekts kinetiska och potentiella energier:

$ \ frac {d (KE + PE)} {dt} = 0 $

För varje relativt lika (i procent) ökning av hastigheten måste den applicerade kraften finnas över allt (kvadratiskt) långt färdsträcka. F = m * a. Samtidigt tvinga * avstånd = arbete, där arbete = energi.

Den allmänna formen av den kinetiska energin inkluderar högre ordningskorrigeringar på grund av relativitet. Kvadratiska termen är endast en newtonsk approximation giltig när hastigheterna är låga jämfört med ljusets hastighet c.

Det finns en annan grundläggande anledning till att kinetisk energi inte kan bero linjärt med hastigheten. Kinetisk energi är en skalär, hastigheten är en vektor. Dessutom, om beroendet var linjärt skulle detta innebära att den kinetiska energin skulle variera genom att ersätta $ \ mathbf {v} $ med $ - \ mathbf {v} $. Dvs den kinetiska energin beror på orienteringen, vilket återigen inte är meningsfullt. Det Newtonska kvadratiska beroendet och de relativistiska korrigeringarna $ v ^ 4 $, $ v ^ 6 $ ... uppfyller båda kraven: kinetisk energi är en skalär och är oförändrad för att ersätta $ \ mathbf {v} $ med $ - \ mathbf {v} $.

Jag tror att det följer av termodynamikens första lag. Det gör din definition av arbete till en bevarad egendom som kallas energi. Om du definierar arbete i $ Fdx $ -stil (som James Joule gjorde) kommer det kvadratiska uttrycket för kinetisk energi att följa med symmetriargumenten.

I sitt utmärkta svar föreslår Ron Maimon smart att använda värme för att undvika en hänvisning till arbete. För att bestämma antalet kalorier använder han en termometer. En perfekt termometer kommer att mäta $ \ partial {E} / \ partial {S} $ så när han är klar med att definiera entropi behöver han fortfarande en icke-mekanisk definition av arbete. (Jag tror faktiskt att det är Joules bidrag att visa att kalorin är ett överflödigt mått på energi.) Svagheten i Rons svar är att han också behöver termodynamikens andra lag för att svara på frågan.

För att se detta uttryckligen, skriv den första lagen i termer av Gibbs-ekvationen: $$ dE = TdS + vdp + Fdx $$ Denna ekvation definierar $ v = \ partial {E} / \ partial {p} $. För ett konservativt system ställer du in $ dE = 0 $ och för att följa Huygens, ställ in $ dS = 0 $ för att få $ vdp = - Fdx $ och för att följa Maimon ställer vi in ​​$ dx = 0 $ för att få $ vdp = -TdS $. Det här är två sätt att mäta kinetisk energi.

Nu att integrera. Huygens antar att $ p $ bara är en funktion av $ v $. För små förändringar i $ v $ gör vi den linjära approximationen $ p = mv $, där $ m \ equiv dp / dv $. Koppla in det, integrera så får du det kvadratiska beroendet. Det är faktiskt inte så svårt att se att om du använder tyngdkraften för den kraft som $ F = mg $ vilket leder till $$ \ frac {1} {2} mv ^ 2 + mgh = C. $$ Raimon måste också anta självständigheten $ p $ på $ S $. För att integrera måste han utvärdera $ T $ som en funktion av $ S $ (och eventuellt $ p $) eller använda värmekapaciteten.

Lägg märke till att vi krävde att ändringarna i $ v $ var små. I själva verket är kinetisk energi inte alltid proportionell mot $ v ^ 2 $. Om du går nära ljusets hastighet går det hela sönder och för själva ljuset finns det ingen massa, men fotoner har kinetisk energi som är lika med $ c p $ där $ c $ är ljusets hastighet. Därför är det bättre att tänka på kinetisk energi som $$ E_ {kin} = \ int v dp $$ och bara utföra integrationen för att hitta det verkliga beroendet av $ v $.

Så sammanfattande , Jag föreslår att "varför" i frågan är densamma som "varför" i den första lagen.

I grund och botten är momentum relaterat till kraft gånger tid och KE är relaterat till kraft gånger avstånd. Allt är en referensram, antingen tid eller avstånd. Förhållandet mellan tid och avstånd för en starthastighet på noll är $ d = \ frac {vid ^ 2} {2} = \ frac {tV} {2} $. Anslut detta till ekvationerna du får KE $ = \ frac {pV} {2} = \ frac {p ^ 2} {2m} $

Woolah - magi!

Jag har ett kvantitativt svar som är ett tankeexperiment som undviker alla utom de enklaste ekvationerna.

Ett objekt som går från hastighet v = 0 till v = 1 måste skjutas eller dras på något sätt. I min förklaring kommer jag att använda samma metod för att skjuta objektet från v = 0 till v = 1 sedan från v = 1 till v = 2, sedan v = 2 till v = 3, etc. Jag kommer att visa hur rörelsenergin förkroppsligad i objektet går upp från 0 till 1 till 4 till 9, etc.

Börja med två identiska kulor, m1 och m2. Mellan de två kulorna finns en fjäder, s1, som hålls i kompression. Antag att vårens massa är väldigt liten. Den potentiella energin på våren är PE = 2 och alla tre aktörerna har hastigheten v = 0.

A. v = 0. Alla objekt har 0 hastighet så kinetisk energi KE = 0.

B. v = 1. Släpp fjädern och m1 skjuter till vänster med hastigheten v = 1. m2 går i motsatt riktning med v = -1. Båda kulornas kinetiska energi är densamma och är KE = 1 eftersom all fjäderns potentiella energi har överförts symmetriskt till kulorna.

C. v = 2. Placera nu en annan identisk kula, m3, precis till höger om m1 och kör också vid v = 1 och med en komprimerad fjäder, s2, mellan dem. Ingenting har förändrats om m1, det reser fortfarande lyckligt med v = 1. Så vad är den totala energin för m1, s2 och m3-systemet? Det är 1 + 2 + 1 = 4 är m1: s KE, s2: s PE och m3: s KE.

Släpp nu fjädern och m1 skjuter av till vänster med v = 2 och m3: s hastighet går från v = 1 till v = 0 vilket gör dess KE = 0. Eftersom vi har sagt att fjäderns massa är väldigt liten så att dess KE är nästan noll är all energi som fanns i systemet innan våren släpptes nu i m1. Så KE för m1 är KE = 4. Phew, KE är proportionell mot v kvadrat!

D. v = 3. Upprepa bara processen för att få m1 att gå från v = 2 till v = 3 genom att trycka av en annan identisk boll, m4. Räkna först ut den totala energin för de två kulorna och fjädersystemet innan fjädern släpps. Det är 4 + 2 + 4 = 10. Efter att fjädern släppts har m4 v = 1 som vi har fastställt motsvarar KE = 1. Så m1 har den återstående energin i systemet som är KE = 9.

E. v = 4. Upprepa processen. Systemets energi innan våren släpps, 9 + 2 + 9 = 20. KE av m1 efter att våren släppts, KE = 20-4 = 16.

Jag är inte nöjd med att ta bort fjäderns massa så att en snyggare förklaring har en fjäder fäst vid varje boll och kulorna interagera via deras fjädrar som är i kontakt.

Kinetisk energi är definierad som $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ (i klassisk mekanik åtminstone).

När rörelsen för ett objekt är utsatt för en fysisk lag som är konstant genom tiden (till exempel $ \ ddot {r} = - \ frac {GM} {r ^ 2} $ där GM är en konstant), sedan när du integrerar båda sidor med avseende på avstånd och multiplicera med massan $ m $ för det objekt du får:

$$ \ frac {1} {2} mv_2 ^ 2 - \ frac {GMm} {r_2} = \ frac {1} {2 } mv_1 ^ 2 - \ frac {GMm} {r_1} $$

Om vi ​​antar att lagen är konstant genom tiden, så anger objektets kvantitet $ \ frac {1} {2} mellan initial och slutlig mv ^ 2 - \ frac {GMm} {r} $ sparas också genom tiden.

Om istället för $ - \ frac {GM} {r ^ 2} $ är den fysiska lagen någon annan funktion $ f (r) $ konstant genom tiden, sedan bevaras objektets kvantitet $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 - F (r) $ där F är en primitiv av f också genom tiden.

Den kvantiteten kallas energi. Sedan ger vi ett namn på de två termerna: termen som beror på hastighet ($ \ frac {1} {2} mv ^ 2 $) kallas kinetisk energi och termen som beror på avstånd ($ -F ( r) $) kallas potentiell energi.

Det är användbart att definiera dessa kvantiteter, för om vi antar att ett objekts acceleration är en funktion av avståndskonstant genom tiden (som är fallet med gravitationslagen, Coulombs lag, Hookes lag, ...), och om vi vet värdet på $ F (r) $ och värdet på hastigheten vid ett givet avstånd $ r_1 $ (som båda härrör från mätningar) , då kan vi direkt härleda objektets hastighet på något annat avstånd utan att behöva beräkna integralen av $ f (r) $ varje gång.

Eftersom kinetisk energi är en definierad storlek är det meningslöst att fråga varför det ökar kvadratiskt med hastighet, gör det för att det definieras så. Argumentet ovan ger ett skäl till varför det definieras så.

Varför tar det så mycket mer energi att gå från 1 m / s till 2 m / s än att det går från 0 m / s till 1 m / s?

Det är inte svårare att accelerera något från 1 m / s till 2 m / s än från 0 m / s till 1 m / s, vid en konstant acceleration tar det samma tid, men det tar 3 gånger mer avstånd (så det tar fyra gånger mer avstånd att accelerera från 0 m / s till 2 m / s än från 0 m / s till 1 m / s).

Låt oss säga att du accelererar ditt objekt med en konstant hastighet så att det tar en tid $ \ tau $ att gå från 0 m / s till 1 m / s. Då tar det samma tid $ \ tau $ att gå från 1 m / s till 2 m / s.

Dess hastighet som funktion av tiden är $ v (t) = \ frac {1} {\ tau} t $. I synnerhet $ v (\ tau) = 1 $ och $ v (2 \ tau) = 2 $. Dess sträcka som en funktion av tiden blir $ d (t) = \ frac {1} {2 \ tau} t ^ 2 $

Det tar ett avstånd $ d (\ tau) = \ frac {\ tau} {2} $ för att accelerera den från 0 m / s till 1 m / s, medan det tar ett avstånd $ d (2 \ tau) = 2 \ tau $ för att accelerera från 0 m / s till 2 m /s.

Som du kan se, $ d (2 \ tau) = 4d (\ tau) $. Inte vid något tillfälle behöver du åberopa kinetisk energi för att förklara denna observation, det tar fyra gånger mer avstånd eftersom objektet rör sig snabbare mellan $ \ tau $ och $ 2 \ tau $ än mellan $ 0 $ och $ \ tau $. På samma sätt tar det fyra gånger mer avstånd att bromsa till en hastighet $ 2v $ än med en hastighet $ v $ vid en konstant retardationshastighet än vid hastigheten $ v $, inte för att kinetisk energi gör det på något sätt svårare att bromsa när vi går snabbare, utan bara för tar två gånger längre att bromsa (tiden att gå från $ 2v $ till $ v $ är samma som tiden för att gå från $ v $ till $ 0 $), och eftersom vi rör oss snabbare än $ v $ (därmed täcker mer avstånd ) under halva bromstiden.

Den kvadratiska variationen av kinetisk energi med hastighet kan förklaras med symmetriegenskaperna i rum och tid. Den lagrangiska funktionen definieras som $ \ mathcal {L} = TU $ , där $ T $ är kinetisk energi och $ U $ är den potentiella energin.

Vi vet att rymden är homogen och isotrop, och tiden är homogen. För en fri partikel följer att lagrangian $ \ mathcal {L} $ ska ha följande egenskaper:

1. $ \ mathcal {L} $ borde inte bero på positionskoordinaten.
2. $ \ mathcal {L} $ bör inte bero på hastighetsvektorn. Snarare bör det bero på hastighetens storlek, dvs en viss hastighet hos hastighetsvektorn.
3. $ \ mathcal {L} $ bör inte bero på tidskoordinaten.

Så den allmänna formen av lagrangian för en fri partikel är $$ \ mathcal {L} (x, v, t) = \ alpha v ^ n $$ span > där $ \ alpha $ är en konstant oberoende av koordinater, hastigheter och tid. Nu kan momentumet beräknas med relationen $$ p = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial v} = \ alpha nv ^ {n-1 } $$ Momentum är emellertid alltid en linjär hastighetsfunktion som lätt kan bevisas genom dimensionell analys. Detta är endast möjligt när $ n = 2 $ i ovanstående uttryck.

Eftersom vi överväger en fri partikel (som bara har kinetisk energi) är lagrangian (att välja $ n = 2 $ ) $$ \ mathcal {L} = T = \ alpha v ^ 2 $$ Således är den kinetiska energin proportionell mot $ v ^ 2 $ och inte någon annan effekt av $ v $ .

Ett sätt att titta på den här frågan är följande:

$$ E (v) = \ frac {m v ^ 2} {2} \; . $$

Så om vi multiplicerar hastigheten med en viss kvantitet, dvs. om vi skalar hastigheten, får vi följande,

$$ E (\ lambda v) = \ frac {m (\ lambda v) ^ 2} {2} = \ lambda ^ 2 \ frac {mv ^ 2} {2} = \ lambda ^ 2 E (v) \; . $$

Det vill säga, om du skalar din hastighet med faktorn $ \ lambda $, skalas din energi med faktorn $ \ lambda ^ 2 $ - detta borde svara på din fråga (koppla bara in siffrorna).

Kinetisk energis kvadratiska mening är perfekt om vår verklighet egentligen inte är första ordningen i rymden, utan istället är ett mått på den relativa hastigheten som ett objekt passerar genom tiden. Utrymmet för vår existens blir sedan rymden för samtidig tid, vid varje given tidpunkt, när den fortskrider.

I detta scenario skapar en förändring av ett objekts kinetiska energi ett tryck (tänk "kraft" ) till ett nytt utrymme för samtidigt som tiden rör sig snabbare eller långsammare för ett objekt.

Varför fungerar Newtons första lag? Är det för att tiden går i konstant takt när den inte förändras? Och när det ändras, gör det så som en kvadrat / kvadratrot eftersom tiden upplevs som att passera i alla riktningar?

Tiden skulle då kunna betraktas som att passera allriktad medan rörelse uppenbarligen existerar linjärt. Kombinera dessa och du har kvadratroten från rymdtiden! Precis som en sfärs expanderande eller kontraherande radie! (Jag verkar alltid ha Higg's mexikanska hatt blinkande framför mina ögon när jag tänker på att kraft går en viss riktning av någon anledning, även om den inte direkt berör här så långt jag kan säga lol).

När tiden går långsammare krymper motsvarande utrymme för varje objekt för att stämma överens med ljushastighetsinvariansen för varje objekt hela tiden. Lorentz-kontraktion resulterar och blir dominerande i den takt som tiden går närmar sig noll för ett objekt i förhållande till det andra. Utrymmet av samtidig tid vid en punkt avrundar sedan bilden.

Symmetrin för SR och energibesparing är roliga saker att tänka igenom i detta scenario.

Verkligheten måste faktiskt finnas på det här sättet, så gott jag kan säga. Det finns inget utrymme för att det ska vara fel, eftersom ljushastighetsinvarians också gäller det oändliga minimum av acceleration. Oändligheten kan endast vara en reflektion av ett nytt utrymme för samtidighet som skapas om det accelererande objektet ska bibehålla ljushastighetskonstansen i alla fall.

Kinetisk energi är egentligen inte en skalar som finns i rymden. Och tiden är faktiskt en riktig sak som verkligen passerar. Tidens gång är ingen illusion.

Kinetisk energi kräver att tiden går eftersom det är den kvantitativa relativa utvidgningen av den hastighet som tiden går som definierar vilken kinetisk energi som faktiskt och verkligen är!

Resultatet är att kvadratet i kinetisk energi stämmer perfekt med Lorentz-invariansen för att förklara vår verklighet så som vi mäter den vara, om vi bara accepterar att tiden går är en riktig sak, och ge den företräde i vårt tänkande som den förtjänar att ha!