Jag skrev nyligen om detta på wikipedia. Det mest intuitiva sättet att se varför en operatör som $ S_z $ har diskreta värden baseras på dess relation till rotationsoperatorer:

$ R_ {intern} (\ hat {z}, \ phi) = \ exp (-i \ phi S_z / \ hbar) $

där vänster sida betyder rotation av vinkel $ \ phi $ om $ z $ -axeln, men bara roterar partiets "inre tillstånd" inte dess rumslig position (se wikipedia-artikeln för detaljer). Eftersom en rotation på $ \ phi = 720 ^ \ circ $ [se nedan] är densamma som ingen rotation alls (dvs. identitetsoperatören), drar du slutsatsen att egenvärdena på $ S_z $ endast kan vara heltal eller halvtal.

... ungefär som hur en stående våg på en cirkulär sträng måste ha ett heltal våglängder.

-

Vänta, varför sa jag $ 720 ^ \ circ $ inte $ 360 ^ \ circ $ ?? Det finns två matematiska grupper som troligtvis kan motsvara rotation i den verkliga världen: $ SO (3) $ och $ SU (2) $. I $ SO (3) $ men inte $ SU (2) $ är det att rotera $ 360 ^ \ circ $ detsamma som att inte rotera alls. I BÅDE av dem är att rotera $ 720 ^ \ circ $ samma sak som att inte rotera alls. Så vi kan vara helt säkra på att $ 720 ^ \ circ $ rotationsoperatören är identitetsoperatören, medan det för $ 360 ^ \ circ $ bara skulle vara en gissning baserad på extrapolering från klassisk fysikintuition. Så länge det finns fermioner är gissningen fel! Att rotera en fermion med $ 360 ^ \ circ $ motsvarar att vända tecknet på dess vågfunktion.

Den djupare orsaken är att komponenterna i rotationsvektorn (vinkelmoment) genererar rotationsgruppen. Denna grupp är kompakt, vilket innebär att en rotation vinkelrätt mot en godtycklig riktning nödvändigtvis stängs. Detta innebär av matematiska skäl (giltigt för varje kompakt Lie-grupp) att dess framställningar som operatörer i ett Hilbert-utrymme endast kommer i diskreta satser, och egenvärdena för vilken komponent som helst, i allmänna funktioner för representationsetiketten, måste i det kompakta fallet vara diskret.

Däremot genererar position och momentum den icke-kompakta Weyl-gruppen (en central förlängning av fasrumsöversättningarna), och en översättning längs en godtycklig fasrymdriktning stängs aldrig. Detta innebär att egenvärdena varierar kontinuerligt.

Jag tar en hand som vinkar gissningen på detta.

Naturen är kvantmekanisk, dvs den styrs av kvantmekaniska ekvationer som definierar rörelse etc. De klassiska lagrangierna är ett begränsande fall främst för stora dimensioner.

Kvantisering visas när variablerna är begränsade, till exempel inom en potentiell brunn. Man finner att endast kvantiserade värden är tillåtna, så i en begränsande potential kommer också momentum att kvantiseras så länge det finns diskreta energinivåer. :

"varför okonstruerade elementära partiklar har en kvantiserad snurrning i motsats till momentum eller energi, etc?"

Mitt intuitiva svar är: förmodligen för att snurr är en rotation och rotationer är begränsade av $ 0 $ till $ 2 \ pi $ begränsning av värdena för phi, en begränsad begränsning, i motsats till momentum som kan gå från noll till oändlighet. Begränsningar är villkor för kvantisering.

Som en hjälp i intuitionen, se avsnitt 14 i Schiffs kvantmekanik, separering i sfäriska koordinater för schroedingerekvationen för sfäriskt symmetriska potentialer.. Vinkelekvationerna har inget beroende av potentialen och deras lösningar kvantiseras.