Mätarsymmetrier, som anteckningen säger, är uppsägningar i vår naturbeskrivning. Till exempel har en foton två fysiska frihetsgrader (de två polarisationerna). Vi väljer dock att beskriva en foton med ett 1-formigt fält $ A_ \ mu $ som har 4 frihetsgrader. De två extra frihetsgraderna här är relaterade till mätarsymmetrier. Härifrån finns det två viktiga frågor att besvara:

Varför måste mätningssymmetrier bevaras i kvantteorin?

En av de saker som bör bevaras genom att gå från det klassiska till en kvantteori är teorins frihetsgrader. (Hur frihetsgraderna beter sig kan förändras, men inte deras antal). Om man tar exemplet med foton, förblir de totala opysiska frihetsgraderna oförändrade vid kvantisering (kvant- och klassisk foton beskrivs av samma $ A_ \ mu $). Således, för att upprätthålla rätt antal fysiska frihetsgrader (2 för foton) måste måttinvarians bevaras vid kvantisering.

Om gauge-symmetrier är överflöd, varför introducera dem i första hand?

Den viktiga punkten här är kravet att vår teori är Lorentz-invariant. Nu finns det två sätt att vara säker på att vår teori (eller mer exakt, $ S $ -matrisen) är Lorentz-invariant

1. Gör åtgärden uppenbarligen Lorentz-invariant. Detta innebär att man beskriver teorin i termer av Lorentz-kovarianta objekt som skalärer $ \ phi $, 1-former $ A_ \ mu $ eller spinors $ \ psi $ (och andra representationer av Lorentz-gruppen.)

2. Gör inte åtgärden uppenbarligen Lorentz invariant, dvs formulera den i termer av fält som inte representerar Lorentz-gruppen, utan upprätthåll den övergripande Lorentz-invariansen genom att försiktigt sätta ihop fälten på ett Lorentz-invariant sätt.

Du kan omedelbart se fördelarna med den första tekniken. Lorentz-invarians är uppenbar, och så länge indexen matchar bra behöver vi aldrig oroa oss för att få roliga Lorentz-icke-invarianta svar. Med den andra tekniken måste man kontrollera Lorentz-invarians i varje steg i beräkningen.

Nackdelen med den första metoden är följande: Varje fysiskt objekt måste inbäddas i representationer av Lorentz-gruppen. Således, om vi vill beskriva en spin-1-foton, måste den vara inbäddad i spin-1-representationen för Lorentz-gruppen, $ A_ \ mu $. Detta leder oss till en nödvändig introduktion av måttinvarians. (eftersom 4 dof av $ A_ \ mu $ måste reduceras till foton 2)

Så som en sammanfattning medan måttinvarians inte skapar några olägenheter, så gör det möjligt att kringgå den ännu mer obekväma formuleringen av teorin på ett icke-manifest sätt av Lorentz.

PS - I den senaste utvecklingen har människor försökt bädda in foton för doven i spinor, som fortsätter att möjliggöra uppenbar Lorentz-invarians, men också kringgår problemet med måttinvarianter. Detta kallas spinor-helicitetsformalismen.

För att svara på din sista fråga, eftersom kvantifiering av elektromagnetism i termer av $ \ vec {E} $ och $ \ vec {B} $ inte gör Lorentz invarians manifest, och är, ja, groparna. Det är också svårt att fånga saker som Aharonov-Bohm-effekten och andra topologiskt intressanta saker (särskilt i icke-abelska fält) om du blir av med geometrin (mätfält).

För att svara på din första fråga ... varför hålla mätarens symmetri efter kvantisering? Om det fanns på plats före kvantisering, och du använde symmetrin i någon av dina beräkningar, t.ex. för att härleda ett resultat som förbjuder ett visst sönderfall, om du tycker att mätningssymmetri inte bevaras (en anomali) dina beräkningar är inte konsekventa. Om symmetrin inte finns där efter kvantisering, så var den egentligen aldrig där till att börja med (du började precis med de kränkande termerna i din Lagrangian med koefficienter som felaktigt är lika med noll).