I icke-relativistisk kvantmekanik (NRQM) beskrivs dynamiken hos en partikel genom tidsutvecklingen av dess associerade vågfunktion $ \ psi (t, \ vec {x}) $ med avseende på den icke-relativistiska Schrödinger-ekvationen (SE) $$ \ begin {ekvation} i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ psi (t, \ vec {x}) = H \ psi (t, \ vec {x}) \ end {ekvation} $$ med den hamilitoniska som ges av $ H = \ frac {\ hat {p} ^ {2}} {2 m} + V (\ hat {x}). $ För att uppnå en Lorentz-invariant ram (SE är bara Galilei INTE Lorentz-invariant), skulle en naiv strategi börja med att ersätta denna icke-relativistiska form av Hamiltonian med en relativistisk uttryck som $$ H = \ sqrt {c ^ {2} \ hat {p} ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}} $$ eller, ännu bättre, genom att ändra SE helt och hållet så att den blir symmetrisk i $ \ frac {\ partial} {\ partial t} $ och det rumsliga derivatet $ \ vec {\ nabla}. $

Den centrala insikten bakom formuleringen av Quantum Field Theory är dock att detta inte är tillräckligt. Snarare kräver kombinationen av principerna för Lorentz-invarians och kvantteori att man lämnar enstaka partikel -metoden för kvantmekanik.

• I vilken relativistisk kvantteori som helst behöver partikelnummer inte sparas, eftersom den relativistiska spridningsrelationen $ E ^ {2} = c ^ {2} \ vec {p} ^ { 2} + m ^ {2} c ^ {4} $ innebär att energi kan omvandlas till partiklar och vice versa. Detta kräver ett multipartikel-ramverk.
• Denna punkt är ofta lite gömd i böcker eller föreläsningar. Unitaritet och kausalitet kan inte kombineras i en enda partikelstrategi: I kvantmekanik sprids sannolikhetsamplituden för en partikel från position $ \ vec {x} $ till $ \ vec {y} $ är $$ G (\ vec {x}, \ vec {y}) = \ left \ langle \ vec {y} \ left | e ^ {- \ frac {i} {\ hbar} H t} \ right | \ vec {x} \ höger \ rangle $$ Man kan visa att t.ex. för den fria icke-relativistiska Hamiltonian $ H = \ frac {\ hat {p} ^ {2}} {2 m} $ är detta noll även om $ x ^ {\ mu} = \ left (x ^ {0}, \ vec {x} \ right) $ och $ y ^ {\ mu} = \ left (y ^ {0}, \ vec {y} \ right) $ ligger på ett rymdlikt avstånd. Problemet kvarstår om vi byter ut $ H $ med ett relativistiskt uttryck i SE.

Quantum Field Theory (QFT) löser båda dessa problem genom en radikal perspektivförändring.

Remark 1: Det finns fortfarande några fall (men det finns många finesser), där man kan använda RQM i enkelpartikeln. Sedan ersätts SE med t.ex. Klein-Gordon ekvation. $$ (\ Box + m ^ 2) \; \ psi (x) = 0 $$ där $ \ psi (x) $ fortfarande är en vågfunktion.

Remark 2: Schrödinger-ekvationen gäller för SR. Det är inte SE som misslyckas, det är den icke-relativistiska Hamiltonian som misslyckas. Dirac-ekvationen är SE, men med Dirac Hamiltonian. Schrodinger-ekvationen är giltig. $$ i \ hbar \ frac {\ partial \ psi (x, t)} {\ partial t} = \ left (\ beta mc ^ {2} + c \ sum_ {n = 1} ^ {3} \ alpha_ {n} p_ {n} \ höger) \ psi (x, t) = H_ \ text {Dirac} \; \ psi (x, t) $$

För att göra relativistisk kvantmekanik måste du överge kvantmekanik med en partikel och ta upp kvantfältsteori.

Schrödinger-ekvationen är en viktig ingrediens i kvantfältsteorin. Det hävdar $$ \ hat {H} {\ psi} = i \ hbar \ frac {d} {dt} {\ psi} $$ som du kanske gissar, men det finns mycket subtilitet i denna ekvation när $ {\ psi} $ refererar till ett kvantfält. Om du försöker skriva det med siffror skulle $ \ psi $ vara en funktion av varje tillstånd i ett fält $ \ phi $ som i sig är konfigurerad över tid och tid. I $ \ psi $ skulle du då ha en funktionell inte en funktion.

I rätt terminologi är Schrödinger-ekvationen här kovariant, men inte uppenbarligen kovariant. Det vill säga att det skulle ha samma form i någon annan tröghetsreferensram, men detta görs inte uppenbart på det sätt som ekvationen har skrivits ner.

Men vi har här ett helt annat "odjur" än Schrödinger-ekvationen du möter när du först gör kvantmekanik. Det skulle nu kallas kvantmekanik för enpartiklar. $ Den $ Schrödinger-ekvationen är verkligen inte kovariant, och inte heller hela strukturen i teorin om kvantmekanik med en partikel.

Orsaken till förvirring här kan vara att göra med vetenskapens historia. Partikelfysiker började arbeta med Klein-Gordon (KG) -ekvationen under en illusion att det var någon form av relativistisk ersättning för Schrödinger-ekvationen, och sedan tänkte man också Dirac-ekvationen. Detta sätt att tänka kan hjälpa en att göra några grundläggande beräkningar för väteatomen till exempel, men i slutändan måste du ge upp den. För tydligt tänkande måste du lära dig att kvantifiera fält, och sedan lär du dig att för spin zero, till exempel, både Klein-Gordon och Schrödinger-ekvationen har roller att spela. Olika roller. Varken ersätter den andra. Man påstår vilken typ av fält man har att göra med; den andra hävdar dynamiken i fältamplituden. $ ^ 1 $

Jag har dock aldrig sett detta tydligt och helt nedskrivet i inledningen i en lärobok. Har någon annan? Jag skulle vara intresserad av att veta.

Efterskrift om de Broglie vågorna

de Broglie föreslog hans förhållande mellan våg- och partikelegenskaper med speciell relativitetsteori mycket i åtanke, så hans relation är relativistisk (bakgrunden är att $ (E, {\ bf p} ) $ bildar en 4-vektor och det gör $ (\ omega, {\ bf k}) $ .) Schrödinger och andra i sitt arbete för att ta hand om de Broglie-vågidén i mer allmänna sammanhang, insåg att en ekvation som var första ordning i tid behövdes. Som jag förstår det kom Schrödinger-ekvationen från en avsiktlig strategi för att titta på låghastighetsgränsen. Så ur denna synpunkt verkar det som en anmärkningsvärd tillfällighet att samma ekvation sedan dyker upp igen i en helt relativistisk teori. Men kanske borde vi inte bli så förvånade. När allt kommer omkring är Newtons andra lag, $ {\ bf f} = d {\ bf p} / dt $ exakt korrekt i relativistisk klassik dynamik.

$ ^ 1 $ Till exempel, för det fria KG-fältet, ger KG-ekvationen spridningsförhållandet för plana våglösningar.Schrödinger-ekvationen berättar sedan dynamiken i fältamplituden för varje sådan planvågslösning, som beter sig som en kvantharmonisk oscillator.

Ett försök att dela den historiska utvecklingen av icke-relativistisk vågmekanik upptäckt av E. Schrödinger relaterad till följande fråga av OP.

"Så, Schrödinger-ekvationen bör inkludera relativitet i den, eller hur? Men det gör inte ... Hur försvinner relativitet från Schrödinger-ekvationen eller inkluderade den aldrig" relativitet på något sätt? "

Kursföreläsningarna av Hermann Weyl vid ETH, Zürich, 1917 var utgångspunkten för denna vågekvationsresa. Dess centrala idé var, vad som senare blev känt som mätomvandling . Schrödinger hade studerat de sammanställda anteckningarna mycket hängivet 1921 ( Inverkan på tänkande ) och använde ofta den centrala idén i sitt efterföljande arbete.

Han tillämpade Weyls måttteori (metriska utrymmen) på elektronernas banor i atommodellerna Bohr-Sommerfeld. Han betraktade elektronens väg i en enda fullständig omloppsbana och genomdrev Weyl-tillståndet för den geodetiska vägen, vilket antydde förekomsten av de kvantiserade banorna. Senare insåg han att detta arbete redan innehöll de Broglies idéer om Bohr-banan när det gäller elektronvågorna.

År 1922 drabbades Erwin Schrödinger av plågorna av andningssjukdomar och hade flyttat till alpinorten Arosa för att återhämta sig. Han hade vaga idéer om konsekvenserna av sin formulering om egenskaperna hos elektronbanorna. Det är fullt möjligt att om han hade haft en bättre hälsa, kunde elektronens vågegenskaper ha varit tydliga för honom redan innan de Broglie, från hans eget arbete.

Einstein hade faktiskt citerat de Broglies arbete för att skapa en koppling mellan kvantstatistiken och vågegenskaperna hos materia och detta var känt för Schrödinger, som läste de flesta av sina artiklar ( Inverkan på tänkande ). Schrödinger hade senare sagt att "vågmekanik föddes i statistik" med hänvisning till hans arbete i statistiska mekaniker av ideala gaser. Han sa att - hans tillvägagångssätt var inget mer än att ta de Broglie-Einstein vågteori om en rörlig partikel på allvar, enligt vilken partikelnaturen är precis som en bihang till den grundläggande vågnaturen.

För att tänka på vilken typ av vågor som skulle tillfredsställa slutna obriter och de relaverade ekvationerna tänkte han redan i relativistiska termer (energi-momentumförhållanden) och var därför naturligt att hans försök att formualisera vågekvationen skulle vila på grunden för relativistiska ekvationer. Hans första härledning för vågekvationen för partiklar, innan hans berömda Quantisierung als Eigenwertproblem (Quantization as an eigenvalue problem) 1926, lämnades opublicerat och baserades helt på den relativistiska teorin som de Broglie gav.

Det avgörande testet för vilken teori som helst vid den tiden var väteatomen. Det krävdes för varje ny teori att åtminstone reproducera några funktioner i Bohrs arbete med H -atomens energinivåer och kvantantal. Vidare måste en relativistisk teori kunna förklara den fina strukturen som tillhandahålls av Sommerfeld-ekvationen. Hans relativistiska teori överensstämde inte med experimenten eftersom den saknade en nyckelingrediens - elektronsnurrningen.

original manusript av hans relativistiska vågmekanikformualering är i bästa fall förlorad och endast en anteckningsbok med beräkningar finns i arkiven.Men hans icke-relativistiska formulering gick verkligen på tryck och har blivit ett vanligt läroboksmaterial för grundutbildningen i kvantmekanik.

Referenser:

1. A Life of Erwin Schrödinger (Canto original series) av Walter J. Moore.

2. Kvantteorins historiska utveckling Av Jagdish Mehra, Erwin Schrödinger, Helmut Rechenberg.

Först och främst är terminologin rörig. Den ursprungliga Schrödinger-ekvationen är icke-relativistisk, men folk kallar ofta "Schrödinger-ekvation" vad de vill, oavsett vilken Hamilton de använder, så "i sin bok", kan Schrödinger-ekvationen vara relativistisk.

Så Schrödinger byggde tydligt på de Broglies relativistiska idéer, varför skrev han en icke-relativistisk ekvation? Egentligen började han med en relativistisk ekvation (som vi nu kallar Klein-Gordon-ekvationen), men den beskrev inte vätespektren korrekt (eftersom den inte tog hänsyn till), så Schrödinger vågade inte publicera den. Senare konstaterade Schrödinger att den icke-relativistiska versionen (som vi nu känner till (den ursprungliga) Schrödinger-ekvationen) beskrev vätespektra korrekt (upp till relativistiska korrigeringar :-)), så han publicerade sin icke-relativistiska ekvation.

Om du är intresserad försöker jag leta efter hänvisningarna till ovanstående historiska fakta.

EDIT (2020-06-21): Egentligen har jag hittat referensen: Dirac, Recollections of an Exciting Era // History of Twentieth Century Physics: Proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi". Kurs LVII. - New York; London: Academic Press, 1977. -P.109-146. Dirac minns sitt samtal med Schrödinger som ägde rum 1940 (ungefär).

Schrödinger-ekvationen är icke-relativistisk av konstruktion.Det följer av det icke-relativistiska klassiska energiuttrycket genom att använda De Broglies idé att ersätta $ (E, \ vec p) $ med $-i \ hbar (\ partial_t, \ vec \ nabla) $ .