I allmänhet är svaret nej. Denna typ av inversa problem kallas ibland för: "Kan man höra formen på en trumma". En omfattande redogörelse av Beals och Greiner ( Anal. Appl. 7 , 131 (2009); eprint) diskuterar olika problem av denna typ. Trots det faktum att man kan få mycket geometrisk och topologisk information från spektrumet eller till och med dess asymptotiska beteende, är denna information inte komplett även för system så enkla som kvantmekanik längs ett begränsat intervall.

För ytterligare detaljer, se Apeiron 9 nr. 3, 20 (2002), eller även Phys. Rev. A 40 , 6185 (1989), Phys. Rev. A 82 , 022121 (2010), eller Phys. Rev. A 55 , 2580 (1997).

För en mer experimentell vy kan du faktiskt ha partikel-i-en-låda problem med olika formade lådor i två dimensioner som har samma spektra; detta följer direkt från Gordon-Webb isospektrala trummor ( Am. Sci. 84 nr. 1, 46 (1996); jstor), och det implementerades av Manoharan-labbet i Stanford ( Science 319 , 782 (2008); arXiv : 0803.2328), till slående effekt:

Harmonic oscillator har samma spektrum som en svagare harmonic oscillator med en hård vägg vid x = 0.

LATER EDIT: Jag ser att jag måste vara mer tydlig --- potentialerna

• $ V (x) = 2x ^ 2 - 2 $
• $ (x>0) $ $ V (x) = x ^ 2 - 3 $ och $ (x<0) $ $ V (x) = \ infty $

har exakt samma spektrum.

I det här svaret kommer vi bara att överväga den ledande halvklassiska approximationen av ett $ 1 $ -dimensionellt problem med Hamiltonian

$$ H (x, p) ~ = ~ \ frac {p ^ 2} {2m} + \ Phi (x), $$

där $ \ Phi $ är en potential. Semiklassiskt ges antalet stater $ N (E) $ under energinivån $ E $ av det område med fasutrymme som är klassiskt tillgängligt, dividerat med Plancks konstanta $ h $,

$ $ N (E) ~ \ approx ~ \ iint_ {H (x, p) \ leq E} \ frac {dx ~ dp} {h}. \ qquad (1) $$

[Här ignorerar vi Maslov-indexet, även känt som metaplektisk korrigering, som t.ex. ger nollpunktsenergi i enkel harmonisk oscillator (SHO) -spektrum.] Låt

$$ V_0 ~: = ~ \ inf_ {x \ in \ mathbb {R} } ~ \ Phi (x) $$

vara infimum för den potentiella energin. Låt

$$ \ ell (V) ~: = ~ \ lambda (\ {x \ in \ mathbb {R} \ mid \ Phi (x) \ leq V \}) $$

vara längden på det klassiskt tillgängliga positionsområdet vid potentiell energinivå $ V $. [Tekniskt sett är längden $ \ ell (V) $ Lebesgue-måttet $ \ lambda $ på förbilden

$$ \ Phi ^ {- 1} (] - \ infty, V]) ~: = ~ \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid \ Phi (x) \ leq V \}, $$

som inte nödvändigtvis behöver vara ett anslutet intervall.]

Exempel 1: Om den potentiella $ \ Phi (x) = \ Phi (-x) $ är en jämn funktion och ökar kraftigt monotont för $ x \ geq 0 $, då är den tillgängliga längden $ \ ell (V) = 2 \ Phi ^ {- 1} (V) $ är två gånger den positiva inversa grenen av $ \ Phi $.

Exempel 2: Om potentialen har en hård vägg $ \ Phi (x) = + \ infty $ för $ x<0 $, och ökar kraftigt monotont för $ x \ geq 0 $, då är den tillgängliga längden $ \ ell (V) = \ Phi ^ {- 1} (V) $ den positiva inversa grenen av $ \ Phi $.

Exempel 3: Om den potentiella $ \ Phi (x) $ minskar kraftigt monotont för $ x \ leq0 $ och kraftigt monotont ökar för $ x \ geq 0 $, då är den tillgängliga längden $ \ ell (V) = \ Phi _ {+ } ^ {- 1} (V) - \ Phi _ {-} ^ {- 1} (V) $ är skillnaden mellan de två inversa grenarna av $ \ Phi $.

I exempel 1 och 2, om vi skulle kunna bestämma den tillgängliga längdfunktionen $ \ ell (V) $, skulle vi också kunna generera motsvarande potentiella $ \ Phi (x) $ som OP frågar.

Huvudkravet är att vi kan rekonstruera den tillgängliga längden $ \ ell (V) $ från $ N (E) $ och vice versa. $$ N (E) ~ \ approx ~ \ frac {\ sqrt {2m}} {h} \ int_ {V_0} ^ E \ frac {\ ell (V) ~ dV} {\ sqrt {EV}}, \ qquad (2) $$ $$ \ ell (V) ~ \ approx ~ \ hbar \ sqrt {\ frac {2} {m}} \ frac {d} {dV} \ int_ {V_ {0}} ^ V \ frac {N (E) ~ dE} {\ sqrt {VE}}. \ Qquad (3) $$

[Tecknen $ \ approx $ är för att påminna oss om det halvklassiska approximation (1) vi gjorde. Formlerna kan skrivas i termer av bråkderivat som Jose Garcia påpekar i sitt svar.]

Bevis på ekv. (2):

$$ h ~ N (E) ~ \ stackrel {(1)} {\ approx} ~ 2 \ int_0 ^ {\ sqrt {2m (E-V_0)}} \ left. \ ell (V) \ höger | _ {V = E- \ frac {p ^ 2} {2m}} ~ dp $$ $$ ~ \ stackrel {V = E- \ frac {p ^ 2} {2m}} {=} ~ 2 \ int_ {V_0} ^ E \ frac {\ ell (V) ~ dV} {v} ~ = ~ \ sqrt {2m} \ int_ {V_0} ^ E \ frac {\ ell (V) ~ dV} {\ sqrt {EV}}, $$

eftersom $ dV ~ = ~ - v ~ dp $ med hastigheten $ v ~: = ~ \ frac {p} {m} ~ = ~ \ sqrt {\ frac {2 (EV)} {m}} $.

Bevis på ekv. (3): Observera att

$$ \ int_ {V ^ {\ prime }} ^ V \ frac {dE} {\ sqrt {(VE) (EV ^ {\ prime})}} ~ \ stackrel {E = V \ sin ^ 2 \ theta + V ^ {\ prime} \ cos ^ 2 \ theta} {=} ~ 2 \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} d \ theta ~ = ~ \ pi. \ qquad (4) $$

Sedan

$$ \ frac {h} {\ sqrt {2m}} \ int_ {V_0} ^ V \ frac {N (E) ~ dE} {\ sqrt {VE}} ~ \ stackrel {(2)} { \ approx} ~ \ int_ {V_0} ^ {V} \ frac {dE} {\ sqrt {VE}} \ int_ {V_0} ^ {E} \ frac {\ ell (V ^ {\ prime}) ~ dV ^ {\ prime}} {\ sqrt {EV ^ {\ prime}}} $$$$ ~ \ stackrel {{\ rm Fubini}} {=} ~ \ int_ {V_0} ^ V \ ell (V ^ {\ prime }) ~ dV ^ {\ prime} \ int_ {V ^ {\ prime}} ^ V \ frac {dE} {\ sqrt {(VE) (EV ^ {\ prime})}} ~ \ stackrel {(4) } {=} ~ \ pi \ int_ {V_0} ^ V \ ell (V ^ {\ prime}) ~ dV ^ {\ prime}, \ qquad (5) $$

där vi litar på Fubinis teorem för att ändra ordningen på integrationer. Slutligen skiljer sig tiation wrt. $ V $ på båda sidor av ekv. (5) ger ekv. (3).

ja, åtminstone för en dimension kan du hindra det omvända problemet

låt vara N (E) trappan för egenvärdet, då i WKB-approximationen ges potentialen invers av

$ V ^ {- 1} (x) = 2 \ sqrt \ pi \ frac {d ^ {1/2}} {dx ^ {1/2}} N (x) $

så att vi kan få det omvända (och därmed potentialen från utvärderingstrappan)

Eftersom alla svar är orienterade på den teoretiska sidan, låt mig påminna alla om Balmer-serien, en experimentell observation utrustad med en matematisk serie, som först modellerades med Bohr-modellen av väteatomen, och sedan var hörnstenen i bygga kvantmekanik, som den kom ut från Schrodinger-ekvationen.

Så i denna mening matchade ett givet / uppmätt energispektrum en specifik potential i Schrodinger-ekvationen.

1 ) Finns det en en till en korrespondens mellan potentialen och dess spektrum?

I det historiska exemplet ovan, ja. Jag har inte sett en andra potential som ersätter vätgaspotentialen i modellering.

2) Om svaret på föregående fråga är ja, då ges spektrumet, finns det ett systematiskt sätt att beräkna motsvarande potential

Den historiska exempel är en utbildad försök och felmetod, trots allt var den klassiska potentialen mellan laddningar känd. Det verkar peka på detta: använd motsvarande för generatorn av spektrumets klassiska potential till att börja med. Ett spektrum är en fysisk observation som kommer från specifika atomer / molekyler / ensembler. Så jag skulle ersätta "beräkna" med "hitta". Fysik handlar om att hitta matematiska modeller som passar de observerbara, imo.

Inom en teoretisk ram är "i allmänhet nej" svaret eftersom det finns oändliga möjliga lösningar. Var vi verkligen lyckliga att ha upptäckt kvantmekanik, om sannolikheten att hitta den potential som passar ett spektrum är så liten? IMO nej, fysikerna använde sin fysikbakgrund för att hitta en bra teoretisk modell som passar observationerna (Balmer-serien) och använder sin klassiska kunskap om potentialer som en gräns för oändligheten av lösningar. Det är en liknande logisk process som att använda gränsvillkor för att minska oändligheten av lösningar från differentialekvationerna till en som passar data.

Jag redogör något för lösningen genom qmechanic och ger två exempel. Lösningen är nära relaterad till Landaus metod för periodinversion, se Mekanik sek. 12.

Kvantantalet kan beräknas ungefär som \ begin {align} (n + \ delta) \, 2 \ pi \ hbar& = \ oint p \, dq \\ & = \ oint \ sqrt {2 \, m \, [E - V (q)]} \, dq \\ & = 4 \ int_0 ^ {r_ \ max} \ sqrt {2 \, m \, [E - V (q)]} \, dq, \ tag {1} \ end {align} där $ \ delta $ är ett tal mellan $ 0 $ och $ 1 $ (dvs. $ 1/2 $) och $ \ hbar $ är Planck-konstanten. Den integrerade $ \ oint $ betyder "gå dit och komma tillbaka". I det sista steget har vi antagit att $ V (q) $ är centrosymmetrisk och $ V (r_ \ max) = E $. Differentierar (1) med avseende på $ E $, vi får \ begin {align} 2 \ pi \ hbar \, \ frac {\ partial n} {\ partial E} & = \ int_0 ^ {r_ \ max} \ frac { \ sqrt {8 m} \, dq} {\ sqrt {E - V (q)}}, \ tag {1} \ end {align} Multiplicera detta med $ 1 / \ sqrt {2 \, m \, (\ alpha - E)} $ och integreras över $ E $, vi får \ begin {align} 2 \ pi \ hbar \, \ int_0 ^ \ alpha \ frac {\ partial n} {\ partial E} \ frac {dE} {\ sqrt {2 \, m \, (\ alpha - E)}} & = \ int_0 ^ {r_ \ max} 2 \, dq \ int_ {V (q)} ^ \ alpha \ frac {dE} {\ sqrt { \ alpha - E} {\ sqrt {E - V (q)}}} \\ & = 2 \, \ pi \, r_ \ max. \ end {align} Nu sedan $ V (r_ \ max) = \ alpha $, den potentiella $ V (r) $ löses via den inversa funktionen som \ begin {align} \ hbar \, \ int_0 ^ \ alpha \ frac {\ partial n} {\ partial E} \ frac {dE} {\ sqrt {2 \, m \, (\ alpha - E)}} & = V ^ {- 1} (\ alpha), \ end {align} där den inversa funktionen tas för $ r > 0 $ -grenen.

Exempel 1

För den harmoniska oscillatorn, $ E_n = \ hbar \, \ omega (n + 1/2) $, sedan $ \ partial n / \ partial E = (\ hbar \, \ omega) ^ {- 1} $ och \ börja {align} \ hbar \, \ int_0 ^ \ alpha \ frac {\ partial n} {\ partial E} \ frac {dE} {\ sqrt {2 \, m \, (\ alpha - E)}} & = \ sqrt {\ frac {2 \, \ alpha} {m \, \ omega ^ 2}} = r. \ end {align} vilket innebär att potentialen är $ V (r) = \ alpha = \ frac {1} { 2} m \, \ omega ^ 2 \, r ^ 2 $, vilket är korrekt.

Exempel 2

Om $ E_n = (\ hbar \ pi n) ^ 2 / (2 m L ^ 2) $, då $ \ partial n / \ partial E = L / (\ hbar \, \ pi) \ sqrt {m / (2 \, E)} $ och \ börja {align} \ hbar \, \ int_0 ^ \ alpha \ frac {\ partial n} {\ partial E} \ frac {dE} {\ sqrt {2 \, m \, (\ alpha - E)}} & = \ frac {L} {2 \, \ pi} \, \ int_0 ^ \ alpha \ frac {dE} {\ sqrt {E \, (\ alpha - E)} } \\ & = \ frac {L} {2} = r. \ End {align} Detta betyder att den inversa funktionen $ V ^ {- 1} (\ alpha) $ är en konstant $ L / 2 $ oavsett värdet på $ \ alpha $ (även om $ \ alpha $ växer till $ + \ infty $). Med andra ord växer $ V (r) $ brant till oändlighet vid $ r = L / 2 $. Eftersom vi antar att potentialen är symmetrisk växer $ V (r) $ också till oändlighet vid $ r = -L / 2 $. Detta innebär att potentialen har två symmetriska oändliga hårda väggar vid $ r = \ pm L / 2 $. Detta är fallet med en partikel i en låda med storlek $ L $. Tack till Kyle-Kanos för att påpeka detta.

Som ett tillägg till svaret av @Jose Javier Garcia och i andan av svaret av @anna v, i molekylär spektroskopi, beskrivs ofta anharmoniska potentialer ungefär av Morse Potential, men detta är otillräckligt i de flesta fall och dåRydberg-Klein-Rees (RKR) numeriska metod används mycket allmänt för att erhålla den potentiella energiprofilen.Denna metod baseras på den semiklassiska WKB-metoden.(Se Hirst, "Potentiella energiytor; Molekylär struktur och reaktionsdynamik" och artiklar på Wikipedia).