... momentet som utövas av $ N $ är noll men vridmomentet som utövas av $ mg $ span > är icke-noll. Det betyder att bollen måste rulla ...

Egentligen betyder det att vinkelmomentet runt den axeln måste öka. Det är inte samma sak som att rulla. Om axeln är genom föremålets masscentrum är det enda sättet för vinkelmomentet att öka genom att rulla. Men om axeln inte passerar genom massacentret är det också vinkelmoment på grund av den linjära rörelsen. I andra situationer är detta skillnaden mellan banvinkelmoment och rotationsvinkelmoment. Så låt oss beräkna "orbital" vinkelmoment i detta problem.

Momentet är $ mg R \ sin (\ theta) $ där $ R $ är bollens radie och $ \ theta $ är lutningsvinkeln.

Storleken på "orbital" vinkelmoment ges av $ R mv $ där $ v $ span > är den linjära hastigheten för masscentrum, så dess tidsderivat är $ R ma $ där $ a $ span> är den linjära accelerationen av masscentrum.

Från Newtons lagar är linjäracceleration den komponent av tyngdkraften som är nedför sluttningen. Det här är $ ma = mg \ sin (\ theta) $ så $ a = g \ sin (\ theta) $ .

Att ersätta den linjära accelerationen i tidsderivatet för den orbitala vinkelmomentet ger $ R m g \ sin (\ theta) $ vilket är lika med vridmomentet.Detta innebär att ökningen av vinkelmoment på grund av vridmomentet beräknas fullt ut av ökningen av det "orbitala" vinkelmomentet och det finns inget kvarvarande vridmoment för att öka "rotationsvinkelmomentet"Därför snurrar / rullar inte bollen oavsett vilken axel du undersöker.

Så, vad kommer exakt att hända med en boll som hålls på en friktionsfri lutning plan - kommer det att glida eller rulla?

Friktionsfri betyder att lutningsytan inte kan utöva något vridmoment på kulan. Enligt Newtons andra lag betyder det att kulans rotation förblir oförändrad, specifikt:

• om bollen snurrade med vinkelhastighet $ \ omega $ så fortsätter den helt enkelt att göra det: $ \ frac {\ text {d} \ omega} {\ text {d} t} = 0 $ .
• om bollen inte snurrade alls ( $ \ omega = 0 $ ) kommer inte glidning nedåt den friktionsfria lutningen att ändra $ \ omega $ . Återigen $ \ frac {\ text {d} \ omega} {\ text {d} t} = 0 $ .

För att varje rotationsstatus ska kunna ändras måste ett vridmoment $ \ tau $ agera på bollen, så att:

$$ \ tau = N \ mu $$

men med $ \ mu = 0 $ är $ \ tau $ alltid $ 0 $ .

för att se vad som hände, låt oss titta på rörelseekvationerna:

$$ m \, \ ddot {s} + F_c-m \, g \ sin (\ alpha) = 0 \ tag 1 $$ $$ I_b \, \ ddot {\ varphi} -F_c \, R = 0 \ tag 2 $$

case I: Ball rullar utan att glida:

$$ \ ddot {s} = R \ ddot {\ varphi} \ tag 3 $$

du har tre ekvationer för tre okända $ \ ddot {s} \ ,, \ ddot {\ varphi} \ ,, F_c $

du får:

$$ \ ddot {\ varphi} = \ frac {m \, g \, \ sin (\ alpha) \, R} {m \, R ^ 2 + I_b } $$ $$ \ ddot {s} = R \ ddot {\ varphi} $$ $$ F_c = \ frac {I_b \, m \, g \, \ sin (\ alpha)} {m \, R ^ 2 + I_b} $$

case II: Bollen glider:

Detta är ditt fall eftersom du inte har kontaktkraften $ F_c $ .

i detta fall är kontaktkraften $ F_c $ lika med noll.

$$ m \, \ ddot {s} = m \, g \ sin (\ alpha) $$ $$ I_b \, \ ddot {\ varphi} = 0 \ quad \ Rightarrow \ varphi = 0 $$

case III: Ball rullar:

istället för ekvation (3) har du nu ekvationen för en friktionskraft

$$ F_c = \ mu \, N = \ mu \, m \, g \, \ cos (\ alpha) $$

du får:

$$ \ ddot {s} = g (\ sin (\ alpha) - \ mu \, \ cos (\ alpha)) $$

$$ \ ddot {\ varphi} = \ frac {\ mu \, m \, g \, \ cos (\ alpha) \, R} {I_b} $$

så om $ \ mu = 0 $ bollen glider är detta fall II

Jag tror att mycket av förvirringen kommer från den falska uppfattningen att ett ögonblick [eller vridmoment, jag använder dessa ord synonymt, jämför Moment (Physics)] kan ha en axel eller en plats. I klassisk mekanik är ett sådant vridmoment associerat med vilken stel kropp som helst, snarare än med en specifik plats på kroppen.

Strikt metod

Vanligtvis skulle du klippa den styva kroppen fri från sin omgivning och därmed införa gränskrafter som verkar på den, förutom alla volymkrafter som härrör från ett kraftfält som gravitation och möjliga vridmoment som appliceras externt.

Sedan, för att bestämma kroppens rörelseändring, skulle du separera krafter från vridmoment genom att förskjuta krafter vinkelrätt mot deras effektlinje, så att alla slutligen påverkar kroppens masscentrum (CoM). För varje förskjuten kraft måste du införa ett kompenserande förskjutningsmoment: medan rörelse av en kraft längs dess effektlinje har inga fysiska konsekvenser, men att flytta den på något annat sätt gör det.

När du är klar med att förskjuta alla krafter i kroppens CoM, kommer du att summera alla krafter för att få den totala kraften som verkar på kroppens CoM. På samma sätt kommer du att summera alla förskjutningsmoment och eventuella vridmoment som appliceras externt, och resultatet blir det totala vridmomentet som påverkar kroppen. Du kan beteckna ditt vridmoment med en cirkelpil var som helst i diagrammet, det spelar ingen roll var du lägger det.

Om du tillämpar detta på ditt exempel är du redan klar med det första diagrammet: Alla krafters effektlinjer skär varandra i bollens mitt. Det finns inget att göra, och vridmomentet är noll. Bollen glider.

Intuition

Det är kontraintuitivt att acceptera att en mängd vridmoment som appliceras på ett ställe ska ha samma effekt på en styv kropp som samma mängd vridmoment som appliceras på en annan plats i samma kropp: Intuition dikterar att kroppen ska börja roterar runt axeln där momentet appliceras.

Detta gäller dock bara om nämnda axel finns i kroppens CoM. En kropp kommer alltid och bara att rotera om sin CoM om ingen annan kraft appliceras.

Tänk på ett hjul med en axel som inte är i mitten, men säg något av. Om du hänger upp denna axel i en fast och stel ram och sedan använder ett vridmoment, kommer hjulet definitivt att börja snurra runt axeln, och hjulets CoM kommer också att rotera runt axeln. Din upphängning kommer emellertid att uppleva och utöva en kraft på axeln och rotera med samma hastighet som hjulet. Detta kallas excentricitet. Föreställ dig nu att plötsligt släppa loss hjulet. Det kommer att fortsätta att röra sig med sin CoMs momentana hastighet och fortsätta att snurra runt sin CoM, som inte finns på axeln. Därför kommer du att ha ett flygande hjul, vanligtvis på en parabolisk kurva och dess axel kommer att rotera runt sin CoM. Observera att hjulet sedan inte snurrar längre runt axeln, för när upphängningen är borta finns det inget kvar att använda någon kraft på den.

Bollen glider. Ditt misstag var att välja en "accelererande axel" (Kontaktpunkten genom vilken axeln passerar accelererar). Observera att du bara kan bilda vridmomentsekvation om axeln som är stationär eller översätts med konstant hastighet.

Skönheten i masscentrum är att vridmomentsekvationen kan tillämpas på en axel som passerar genom C.O.M oavsett om den axeln accelererar eller inte. (Det är därför C.O.M är det mest populära valet för att tillämpa vridmomentsekvationen). Den här egenskapen gäller endast för masscentrum. (Du bör försöka bevisa det)

För att få korrekta ekvationer måste du applicera pseudokrafter på alla partiklar på den stela kroppen (prova!). Då måste du hitta vridmomentet på grund av den applicerade pseudokraften (jag kallar det 'pseudo-vridmoment').

Det är väldigt lätt att visa (jag låter detta vara en övning för dig) att vridmomentet på grund av alla pseudokrafter kan erhållas genom att överväga den pseudokraft som verkar ensam vid centrum för massiv kropp.

EDIT: Betydelse av accelererande axel: Föreställ dig partiklar på den styva kroppen genom vilken rotationsaxeln tränger igenom. Då kan partiklarna i den styva kroppen genom vilken axeln passerar accelerera med axeln tillsammans med dem.

Axelns acceleration är densamma som för partiklarna genom vilka axeln tränger igenom.

Föreställ dig att du sitter på den rörliga axeln (närmare bestämt, fäst en översättningsram till den rörliga axeln), en fantastisk egenskap hos den styva kroppen är att du kommer att observera hela kroppen rotera runt den axeln och vinkelhastigheten för rotation kommer att vara samma för alla uppsättningar punkter genom vilka du valde att tränga igenom din rotationsaxel.

Flera personer har föreslagit att kontaktpunkten ska fungera som en axel.Jag förstår inte hur detta är fallet, eftersom det inte på något sätt är begränsat.Till exempel är hjulaxeln begränsad genom att vara fäst vid en bil eller cykel, så om du trycker på fälgen blir den kraften vriden runt axeln. Om jag skjuter en person (som står på normal mark) nära hans CoG, begränsas personens fötter av friktion och han kommer att rotera om dem - han tippar eller till och med faller över.

Kontaktpunkten mellan kulan och ytan begränsas varken av en stång genom den eller av friktion, så det är inte mer troligt att den fungerar som en axel än någon annan punkt.För att gå tillbaka till min analogi med en person, det är som att han har på sig skridskor och jag skjuter honom i den riktning de pekar - han kommer inte att välta, han kommer att glida.

Jag kan inte lägga upp kommentarer, så jag lägger dem här.

Rulla en leksaksbil längs en yta, i vilken vinkel som helst, och hjulen roterar.Det beror på att friktion applicerar en kraft vid kontaktpunkten mellan hjulen och ytan.

Flytta den nu parallellt med ytan, några cm bort.Hjulen roterar inte eftersom det inte finns någon kraft vid kontaktpunkten.Anledningen till att det inte finns någon kraft är att det inte finns någon friktion (i det här fallet eftersom den inte vidrör), på en friktionsfri yta skulle det inte finnas någon friktion även om du rör vid den för att den är friktionsfri.

Vridmoment och systemets vinkelmoment måste mätas i förhållande till något ursprung. Om systemets masscentrum inte accelererar i förhållande till en tröghetsram kan detta ursprung vara vilken punkt som helst, men om det accelererar måste det varaCOM. Så förutsatt att en axel vid kontaktpunkten inte är rätt.

Och bollen kommer definitivt att glida ..

Bollen rullar. Bollens masscentrum ligger inte vertikalt ovanför kontaktpunkten, så det finns inget som hindrar den från att falla vertikalt.

De två slutsatser du nämner är inte motstridiga - du har helt enkelt missförstått deras konsekvenser.

Det finns inget vändande ögonblick kring bollens mitt.

Det är ett vändande ögonblick om kontaktpunkten. Detta kommer att få bollen att rotera runt kontaktpunkten, vars effekt är att få bollen att rotera också runt dess masscentrum.

Det är nonsens att säga att friktion krävs för att ett vändmoment ska inträffa. Antag att du byter ut bollen med en penna som lutar normalt mot sluttningen. Pennan glider inte nerför rampen, lutar sig hela tiden, den välter och glider sedan. Välten sker som en följd av vändningsögonblicket runt kontaktpunkten.

För att trycka på punkten, överväg en lutande penna på en plan friktionsfri yta. Pennan kommer naturligtvis att rotera och välta. Frånvaron av friktion underlättar snarare än hindrar rotationen.

Anledningen till att fall på is är vanligt är just att frånvaron av friktion gör det omöjligt att motverka svängmomentet runt en kontaktpunkt med marken om man inte förblir tillräckligt upprätt. Effekten är värre på en sluttande isig yta än på en platt.