Lorentz kom med en trevlig modell för interaktion med lätt materia som beskriver spridning ganska effektivt. Om vi ​​antar att en elektron oscillerar runt någon jämviktsposition och drivs av ett externt elektriskt fält $ \ mathbf {E} $ (dvs. ljus), kan dess rörelse beskrivas av ekvationen $$ m \ frac {\ mathrm {d } ^ 2 \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} t ^ 2} + m \ gamma \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} t} + k \ mathbf { x} = e \ mathbf {E}. $$ De första och tredje termerna på LHS beskriver en klassisk harmonisk oscillator, den andra termen lägger till dämpning och RHS ger drivkraften.

Om vi ​​antar att det inkommande ljuset är monokromatiskt, $ \ mathbf {E} = \ mathbf {E} _0e ^ {- i \ omega t} $ och vi antar ett liknande svar $ \ xi $, vi får $$ \ xi = \ frac { e} {m} \ mathbf {E} _0 \ frac {e ^ {- i \ omega t}} {\ Omega ^ 2- \ omega ^ 2-i \ gamma \ omega}, $$ där $ \ Omega ^ 2 = k / m $. Nu kan vi leka med detta lite med hjälp av det faktum att vi för dielektrisk polarisering har $ \ mathbf {P} = \ epsilon_0 \ chi \ mathbf {E} = Ne \ xi $ och för brytningsindex vi har $ n ^ 2 = 1+ \ chi $ för att ta reda på att $$ n ^ 2 = 1+ \ frac {Ne ^ 2} {\ epsilon_0 m} \ frac {\ Omega ^ 2- \ omega ^ 2 + i \ gamma \ omega} {( \ Omega ^ 2- \ omega ^ 2) ^ 2 + \ gamma ^ 2 \ omega ^ 2}. $$ Det är uppenbart att brytningsindex är frekvensberoende. Dessutom kommer detta beroende av friktionen i elektronrörelsen; om vi antar att det inte förekommer någon dämpning av elektronrörelsen, $ \ gamma = 0 $, skulle det inte finnas något frekvensberoende.

Det finns en annan möjlig metod för detta, med hjälp av impulsmetoden, som antar att dielektrisk polarisering ges av faltning $$ \ mathbf {P} (t) = \ epsilon_0 \ int _ {- \ infty} ^ t \ chi (t-t ') \ mathbf {E} (t') \ mathrm {d} t '. $$ Med Fourier-transform har vi $ \ mathbf {P} (\ omega) = \ epsilon_0 \ chi (\ omega) \ mathbf {E} (\ omega) $. Om känsligheten $ \ chi $ ges av en Dirac - $ \ delta $ -funktion är dess Fourier-transform konstant och beror inte på frekvensen. I verkligheten har emellertid mediet en begränsad svarstid och känsligheten har en ändlig bredd. Därför är dess Fourier-transform inte en konstant utan beror på frekvensen.

Den enkla förklaringen i Hewitts konceptuella fysik är att atomer i kondenserad materia har en högfrekvent resonans, och brytningsindex för de flesta ämnen är starkast vid den blå änden av spektrumet eftersom det är högfrekvensänden, som är närmast resonansen. Följande är mitt försök att konkretisera detta med lite allvarligare fysik. Det verkar fånga en del av sanningen, men på vissa sätt är den rå eller fel.

Kitamura 2007 ger en sammanfattning av experimentella data för kiseldioxidglas över ett brett spektrum av våglängder, tillsammans med en fysisk tolkning. Diagrammet ovan ritas om från Kitamura. Vad som observeras är att det komplexa brytningsindexet har tre framträdande resonanser med en form som jag tror kallas en Lorentzian. Vid varje resonans svänger den verkliga delen av $ n $ lågt och sedan högt, medan den imaginära delen har en topp, vilket indikerar absorption. De tillskriver var och en av dessa resonanser till ett eller flera kvalitativt olika fysiska fenomen. Det synliga spektrumet ligger mellan resonanser vid cirka 0,1 $ \ mu $ m och 9 $ \ mu $ m. Den förstnämnda tillskrivs "interaktion med elektroner, absorption av föroreningar och närvaron av OH-grupper och punktdefekter", den senare till "asymmetrisk sträckningsvibration av Si-O-Si-broar."

Även om detta är allt ganska komplicerat, jag tror att det finns en ganska enkel fysik som kan extraheras.

I det synliga området ser det ut som att minskningen av brytningsindex med våglängd beror på en kombination av två effekter. Denna region i diagrammet hämtar en negativ lutning från 0,1 $ \ mu $ m-resonansen till vänster, och också en negativ lutning från 9 $ \ mu $ m till höger. Detta är en universell egenskap hos alla funktioner som bildas genom att lägga till en massa smala Lorentziska resonanser: långt ifrån resonanser har den alltid en negativ lutning. Det större bidraget till sluttningen verkar komma från resonansen till vänster, vilket överensstämmer med Hewitts förklaring.

Kitamura nämner flera modeller som förklarar resonanserna, av vilka den enda jag känner till heter Lorentz-modellen. I Lorentz-modellen tar du en elektron som en harmonisk oscillator, som en liten massa bunden av en fjäder till en kärna. Förskjutningen av denna drivna harmoniska oscillator (representerad som ett komplext tal för att inkludera dess fas) är den Lorentziska $ x = Af (\ omega) $, där $ f (\ omega) = (\ omega ^ 2 + i \ gamma \ omega - \ omega_0 ^ 2) ^ {- 1} $ och $ A = (e / m) E $. Eftersom elektronerna utför denna svängning som svar på en planvåg genererar de sin egen koherenetplanvåg. Det som faktiskt observeras är överlagringen av denna våg med den infallande vågen. Denna superposition har två delar, en reflekterad våg och en sänd en. I gränsen för ett medium med låg densitet (såsom en gas) ges brytningsindexet av $ n ^ 2 = 1- \ omega_p ^ 2 f (\ omega) $, där $ \ omega_p $, kallad plasma frekvens, ges av $ \ omega_p ^ 2 = Ne ^ 2 / m \ epsilon_0 $, där $ N $ är elektronens taldensitet. Plasmafrekvensen har en $ e / m $ i sig från amplituden hos den drivna harmoniska oscillatorn, och en annan faktor på $ e $ eftersom amplituden hos den återutsända vågen är proportionell mot mängden laddningsoscillerande. När det gäller kiseldioxidglas tror jag att 0,1 $ \ mu $ m-resonansen förmodligen är vad som beskrivs av ovanstående mekanism, medan de andra resonanserna liknar matematiskt men involverar andra effekter än oscillation av bundna elektroner. T.ex. skulle Si-O-Si-broarna resonera med en lägre frekvens på grund av den större trögheten hos kärnorna jämfört med elektroner.

Ett intressant inslag i grafen är att det finns breda platåer, och när vi går upp i våglängd är varje platå successivt högre än den föregående. Detta förklaras av Lorentz-teorin. I gränsen närmar sig svaret från en driven harmonisk oscillator noll i gränsen $ \ omega \ gg \ omega_0 $, men närmar sig en konstant (med omvänd fas) för $ \ omega \ ll \ omega_0 $. Att lägga till bidrag från de olika resonanserna ger en stigande trappa som observerats.

Är frekvensberoende för brytning en egenskap grundläggande för alla vågor?

Ovanstående gör verkar föreslå att det finns något mycket universellt beteende i växelverkan mellan EM-vågor och materia.

Är effekten resultatet av någon form av icke-linjäritet som svar av brytningsmaterialet på elektromagnetisk fält?

Nej, jag tror att det i grunden är det linjära svaret från en driven harmonisk oscillator.

Finns det (teoretiskt) några material som har en väsentligen konstant , icke-enhetsindex för brytningsindex (åtminstone för det synliga spektrumet)?

Jag är säker på att detta skulle vara en helig gral för människor som gör optik. AFAIK, det bästa sättet att bli av med dispersion i riktiga enheter verkar vara att kombinera två material så att dispersionen avbryts. Silikaglas verkar ha en relativt konstant $ n $, och detta beror på att det synliga spektrumet är relativt långt från de två närliggande resonanserna. För att få mindre spridning i det synliga spektrumet antar jag att du skulle vilja ha ett ämne i vilket resonansfrekvensen som glaset har vid 0,1 $ \ mu $ m förskjutits högre.

Kitamura, http: / /www.seas.ucla.edu/~pilon/Publications/AO2007-1.pdf

Jag kommer att handvåg här och titta på problemet en foton åt gången.

Vi vet från experimentet med dubbla slitsar att till och med enskilda fotoner som påverkar den dubbla slitsgeometrin visa ett störningsmönster som är karakteristiskt för fotonens frekvens / energi och slitsarnas geometri.

Man kan tänka sig en kristall som ett mycket stort antal tredimensionella hinder / slitsar (10 ^ 23 molekyler i en mullvad ge ett stort antal även för en centimeter kristall i vägen för din illustration).

En foton som stöter mot gitterets yta hittar inte två slitsar utan ett slitsdjup hela vägen igenom. Den observerade effekten av den olika vinkelfördelningen enligt fotonens impingande frekvens måste vara resultatet av fotonens kvantmekaniska störning, som måste vara konstruktiv i brytningsvinkeln som ges av dess frekvens och brytningsindex och destruktiv överallt , annars skulle vi se störningskanter (faktiskt får vi en andra regnbåge, men det är en annan historia :), men borde vara liknande).

Då reduceras problemet till att förklara frekvensberoendet. Jag kommer att handvåg igen och säga att ju mindre frekvens desto större avstånd i interferensmönstret för sannolikhetsvågen; foton kommer att se gallerluckorna annorlunda

beroende på dess våglängd, eftersom är sant för experimentet med dubbla slitsar, så en fläktande kan förväntas.

Förutsatt att elektronen & atomstrålarna också uppvisar brytning, verkar det som om detta är en partikels egenskap. Hastighet och avböjningsvinkel beror på partikelns massa / storlek för specifikt medium. Photon beter sig som partikel i denna effekt.Massa ges av de Broglie ekvation: m = hv / c ^ 2, v = frekvens