Fråga:
Är inte Gauss lag för magnetism och Faradays induktionslag motstridiga?
Cowgirl
2017-03-13 09:53:45 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Gauss lag anger att $ \ int_S \ vec B \ cdot d \ vec S = 0 $.Men induktionslagen säger att $ \ xi = - \ frac {d \ phi} {dt} $, där $ \ phi = \ int_S \ vec B \ cdot d \ vec S $.

Så om Gauss lag skulle vara korrekt borde det inte finnas någon induktion alls, för då skulle $ \ phi $ vara noll genom varje slinga.

Jag är osäker på varför detta har så många röster;det är en dåligt undersökt fråga baserad på en slarvig läsning av materialet.Varje EM-lärobok som är värt sitt salt gör det mycket tydligt att Gauss-lagen gäller för slutna ytor och Faradays lag för öppna sådana.
Fyra svar:
Jared Dziurgot
2017-03-13 10:05:35 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Definitionen av magnetiskt flöde är

$$ \ Phi = \ int_S d \ vec {A} \ cdot \ vec {B}, $$

där integralen inte över en sluten yta i allmänhet.Gauss lag kräver att integralen är över en sluten yta, så det finns ingen motsägelse.

Se särskilt på alla grundläggande diskussioner om Faradays lag.De tittar alltid på enkla öglor eller trådspolar.Det finns helt klart inte slutna ytor, och definitionen av flöde kan därför inte involvera en sluten yta i dessa fall.Utan en sluten yta är det lätt att tänka på fall där fältet ger ett nollflöde.

Men är inte öglorna stängda ytor?
@AnswerQuicklyPlease Nej, en sluten yta är ungefär som en sfär.En slinga är ungefär som en cirkel.
Det kan hjälpa till att klargöra att du med "slinga" menar "en ospecificerad yta vars gräns är den slingan".Att använda öglor istället för ytor kan vara förvirrande för @AnswerQuicklyPlease eftersom en slinga är en sluten kurva.
Det kan ha varit tydligare om läroböcker använde $ \ oiint $ för integrerade ytor ... och det visas inte på den här webbplatsen.Här är unicode-versionen: ∯
Farcher
2017-03-13 11:08:15 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jag tror inte att jag behöver rita en sluten yta men här är ett exempel på en öppen yta med en sluten slinga i halsen.
Detta liknas vid ett fjärilsnät.

enter image description here

Det är ofta så att den stängda ytan anses vara i slingans plan för att underlätta beräkningen, men detta behöver inte alltid vara så.

Svaret på en ny fråga illustrerar detta.

diegobatt
2017-03-13 10:05:00 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Gauss lag anger att $ \ int_S \ vec B \ cdot d \ vec S = 0 $ för en closed-yta, medan induktionslagen relaterar flödet genom enopen yta till den elektromotoriska kraften ($ \ xi $) i kretsen som bildas av dess gräns

Vad är ett exempel på en öppen yta?
området inuti en plan cirkulär slinga till exempel.Varje yta som har en kant är öppen.
Vad.Jag trodde att det är slutna ytor eftersom de har en gräns.Vad är då en stängd?
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/SurfacesWithAndWithoutBoundary.svg/634px-SurfacesWithAndWithoutBoundary.svg.png Jag tror att denna wikipedias bild kommer att klargöra dina tvivel, varje yta på en fast substans är en stängd, medan varje yta med en kant är en öppen.
Robin Ekman
2017-03-13 16:21:51 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Man måste tänka på integralsatsningarna $$ \ begin {align} \ int_V (\ nabla \ cdot \ mathbf F) \, dV & = \ int _ {\ partial V} \ mathbf F \ cdot d \ mathbf S \ tag 1 \\ \ int_S (\ nabla \ times \ mathbf F) \ cdot d \ mathbf S & = \ int _ {\ partial S} \ mathbf F \ cdot d \ mathbf r \ tag 2 \ end {align} $$ på rätt sätt, som att relatera en integral av ett derivat till en integral över gränsen . De är stora generaliseringar av den grundläggande satsen för kalkyl, $$ \ int_a ^ b f '(x) \, dx = f (b) - f (a). $$

Terminologin "öppen" och "stängd" är hemsk och förvirrande. Man bör tänka i termer av gränser .

Den tvådimensionella ytan som du tillämpar Gauss lag (1) på måste vara gränsen för någon tredimensionell volym. Gauss lag säger bara att nettomagnetflödet genom någon gräns är noll. Låt oss spåra om ditt argument. Från Faradays induktionslag, $ \ partial_t \ mathbf B = - \ nabla \ times \ mathbf E $ får vi den $$ \ int _ {\ partial S} \ mathbf E \ cdot d \ mathbf r = \ int_S (\ mathbf \ nabla \ times \ mathbf E) \ cdot d \ mathbf S = - \ partial_t \ int_S \ mathbf B \ cdot d \ mathbf S. $$ Om $ S = \ partiell V $, det vill säga $ S $ är en gräns, skulle vi ha $$ - \ partial_t \ int_S \ mathbf B \ cdot d \ mathbf S = - \ partial_t \ int_V (\ underbrace {\ nabla \ cdot \ mathbf B} _ {= 0}) \, dV = 0. $$ Men om $ S = \ partiell V $, var den ursprungliga integralen över $ \ partiell (\ partiell V) $, det vill säga gränsen för en gräns. Men det är en standardteorem att gränsen för en gräns är den tomma uppsättningen. Därför finns det ingen motsägelse, eftersom den ursprungliga integralen måste ha varit över den tomma uppsättningen och därmed trivialt noll.



Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...