Fältlinjer drar all sin giltighet från Gauss lag för det elektrostatiska fältet, $$ \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = \ frac1 {\ epsilon_0} \ rho, \ \ text { eller motsvarande} \ \ oint _ {\ partial \ Omega} \ mathbf {E} \ cdot \ text d \ mathbf {S} = \ frac1 {\ epsilon_0} Q_ \ Omega, $$ där $ Q_ \ Omega = \ int_ \ Omega \ rho \, \ text d \ mathbf {r} $ är den elektriska laddningen i en volym $ \ Omega $ vars yta är $ \ partiell \ Omega $, och det faktum att den kan mappas exakt i kontinuitetsekvationen för lite fluid i steady state, som säger att $$ \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = \ sigma, \ \ text {eller motsvarande} \ \ oint _ {\ partial \ Omega} \ mathbf {j } \ cdot \ text d \ mathbf {S} = \ Sigma_ \ Omega $$ där $ \ mathbf {j} $ är strömtätheten (dvs. mängden vätska som korsar en enhetsarea per tidsenhet, vilket är lika med vätskedensitet gånger lokal hastighet), $ \ sigma $ är mängden vätska som skapas per tidsenhet per volymenhet och $ \ Sigma_ \ Omega = \ int_ \ Omega \ sigma \, \ text d \ mathbf {r} $ är den totala vätskan som skapas i $ \ Omega $ per enhet tid.

Den exakt identiska formen av dessa två ekvationer innebär att vi fruktbart kan tolka det elektriska fältet som hastigheten hos en fiktiv "fluid", som bevaras eller inte beroende på om laddningar finns. Mer specifikt kan vi ta in ett användbart sätt att beskriva vätskor - användningen av strömlinjeformade diagram - för att hjälpa oss visualisera elektriska fält (och faktiskt magnetostatiska och gravitationsfält, som allt detta inlägg också gäller).

Låt oss använda den här kartläggningen: vi kan kartlägga din fråga, "hur och varför fungerar elektriska fältlinjediagram?" till en motsvarande fråga i det dubbla problemet:

"hur och varför fungerar strömlinjediagram?"

Effektivitetsdiagram visar ett ändligt antal rader som är tangentiell för den aktuella $ \ mathbf {j} = \ rho_ \ text {fluid} \ mathbf {v} $ vid alla punkter. Det betyder att en partikel som börjar på en strömlinje kommer att förbli på den när vätskan rinner.

^(Bildkälla)

Det roliga börjar när strömlinjeformationer plötsligt kommer närmare varandra. Det betyder att antingen vätskan har komprimerats eller att vätskevolymen har sträckts så att den är längre längs strömlinjen (som i t.ex. detta diagram) och därför går vätskan snabbare. Hur som helst ökar den flytande strömtätheten $ | \ mathbf {j} | $.

Detta kan göras mer exakt. På bilden av flygbladet ovan har till exempel den strömlinjeformade 'frön' (de punkter till vänster vid vilken strömlinjen börjar) valts så att vätskan som flyter per tidsenhet in i bilden från vänster mellan två angränsande strömlinjeformar är konstant. Eftersom ingen vätska flyter över en strömlinje måste denna vätskeflödeshastighet förbli konstant. På grund av detta, när strömlinjen ligger närmare varandra, är hastigheten för vätskeflödet per ytenhet (dvs. strömtätheten) större.

(Dessutom om det finns källor eller sänkor där vätskan skapas eller förstörs, då kan du behöva införa eller ta bort vissa strömlinjer, för i en sådan situation sparas naturligtvis inte längre vätskeflödet mellan de ursprungliga strömlinjerna.)

På grund av detta faktum, om du får en bildrepresentation av strömningslinjerna för ett vätskeflöde, kan du använda den för att rekonstruera en approximation av dess nuvarande densitetsfält. Dess riktning ges av strömlinjerna, och dess storlek dikteras av avståndet till angränsande strömlinjer. Detta är naturligtvis bara ungefärligt: ​​du kan försöka interpolera värdena mellan två strömlinjer, men du saknar information. Du kan försöka förbättra din approximation genom att ta ett finare rutnät, dvs minska flödeshastigheten som behövs för att markera nästa strömlinje, och det ger dig bättre precision (men det kommer naturligtvis fortfarande att vara en approximation).

Du kan sedan göra avståndet mellan "officiella" strömlinjeformar så att du får en mer exakt representation av flödesfältet. Ännu bättre, om dina strömlinjer är riktigt nära varandra börjar det vara meningsfullt att tala om den lokala densiteten hos officiella strömlinjer. Om vätskan saktar ner med en halv från en region till en annan, och dina strömlinjer är fortfarande mycket nära varandra, kommer du att upptäcka att det finns dubbelt så många i ett visst område med ändlig och liten is där vätskan är snabb jämfört med där det är långsamt.

I gränsen där du tar oändligt många strömlinjer, lika fördelade med en motsvarande försvinnande liten flödeshastighet, då får du den typ av saker som platoniskt talas om. Det är dock inte meningsfullt, eftersom du måste arbeta med ett begränsat avstånd, men om dina avstånd är mycket små kan du båda (1) ha strömlinjeformning i huvudsak genom varje punkt, och (2) tala meningsfullt om den lokala densiteten officiella strömlinjeformar och har den förändringen konsekvent från en region till en annan beroende på den lokala strömtätheten.

Ett användbart verktyg för att visualisera denna gräns är Paul Falstads 3-D Vector Fields Applet. För det första låter det dig visualisera elektriska fält som fiktiva partiklarnas hastighetsfält, och det låter dig spela i tre dimensioner med många av de vanliga elektrostatiska konfigurationerna, men viktigast av allt kan du öka och minska fältlinjens densitet:

Det fungerar exakt så här också i elektrostatik. Om du har ett elektrostatiskt fält (eller ett gravitationsfält) börjar du med att välja en lämplig liten enhet av elektrostatiskt flöde (dvs. $ \ int_S \ mathbf {E} \ cdot \ text d \ mathbf {S} $ för att separera din När du har fixat det här är fältlinjediagrammet i huvudsak helt bestämt: med början vid en viss punkt kan du rita dess fältlinje, sedan flytta en fluxenhet upp och ner från den och rita dessa fältlinjer och upprepa att tills du har täckt hela intresseområdet. Och, naturligtvis, om du möter regioner med avgifter, måste du tunna ner din strömlinjetäthet eller införa några nya. Gauss lag garanterar att ditt diagram kommer att vara konsekvent: om du väljer dina avstånd så att den lokala densiteten hos fältlinjer återspeglar den elektriska fältstyrkan $ | \ mathbf {E} | $ över en viss yta, så kommer det att göra det genom hela diagrammet. Det är anledningen till att du kan använda ett sådant koncept och anledningen till att det verkligen fungerar.

Jag skulle också vilja ställa in här nere några tankar om representation. Genom det förfarande som jag skisserade ovan är det verkligen möjligt att rekonstruera en approximation till det elektriska fältet i ett område från ett diagram med ett begränsat antal fältlinjer. Således är dessa två representationer av samma dipolära elektriska fält väsentligen ekvivalenta *:

Men bara för att de innehåller samma information betyder det inte att de är lika användbara. Fältlinjediagram är mycket användbara för att bilda en intuitiv uppfattning om vilken riktning fältet pekar i och dess relativa styrka i olika regioner, men det är ett fruktansvärt verktyg för att uppskatta superpositionen för två fält (för vilka en vektorfältrepresentation är bättre), och det skapar flera felaktiga intuitioner. I slutet av dagen, trots att vi verkligen kan 'förklara tyngdkraften från fältrepresentationen utan att använda den matematiska ekvationen', visar sig det vara absolut inte värt besväret att försöka göra det. Du borde verkligen se fältlinjerna som enbart ett representationsverktyg och hålla fast vid vektorfältets matematik för "vad fältet egentligen är".

Slutligen, låt mig här uttryckligen a varning . Språket i det här inlägget är främst lämpligt för tvådimensionella situationer och det måste modifieras något för 3D-scenarier. Anledningen till detta är att det i tre dimensioner inte finns någon "nästa strömlinjeform", och att du måste börja med en lämplig stänk av punkter, med rätt lokal densitet, i din "frö" -yta när du ritar fältlinjer. Den korrekta generaliseringen av 2D-strömlinjer till 3D är fortfarande strömlinjeformad och inte "streamsurfaces" (som du verkligen kan rita, men allt blir mycket messigare), och detta komplicerar saker. Ändå är det verkligen möjligt att göra detta ordentligt, och analogin mellan ett statiskt vätskeflöde och elektrostatik kvarstår.

I själva verket kan denna till synes ofarliga 2D / 3D-klyftan vara orsaken till många subtila misstag. Ta till exempel den här gemensamma representationen av fältlinjerna för en punktavgift från anupams duplicerade fråga:

För en punktladdning är det det elektriska fältflödet genom en sfär centrerad på laddningen som är konstant, vilket innebär att det elektriska fältet måste gå ner som $ 1 / r ^ 2 $. I den här bilden, men (eller i någon 2D-skildring där fältlinjer inte försvinner), går avståndet mellan linjerna ner till $ 1 / r $ (eftersom antalet fältlinjer som passerar en cirkel är konstant), vilket betyder att det allvarligt överskattar fältstyrkan. Detta diagram är mer lämpligt för att skildra det elektriska fältet för en linje av laddning.

För att korrekt uppskatta fältet från ett sådant diagram måste du arbeta utifrån ett 3D-diagram som de som producerats av Paul Falstads simulator, som producerade grafiken ovan, (eller den här, om du har pengar), eller om du borde arbeta i 2D-system (dvs. 3D-system med en translationell symmetri).

Den här typen av misstag är dock exklusiv för en fältradrepresentation - du skulle inte göra det när du använder en vektorfältrepresentation. Du kan använda dem för att bygga lite intuition, men se upp för deras många uppdelningar och komplettera dem alltid med andra sätt att visualisera fälten.

^{* Observera att om du direkt försöker plotta detta i Mathematica kommer StreamPlot att producera en felaktig plot, med fältlinjer som visas från ingenstans; det är förvånansvärt svårt att producera korrekta strömlinjeformar både i Mathematica och någon annanstans. För koden som producerade dessa använder du Import [" http://goo.gl/NaH6rM"] [" http://i.stack.imgur.com/CMlWz.png "]. Observera också att jag lurade genom att minska kontrasten i vektorritningen något för att göra pilarna mer synliga.}

Du har helt rätt att mängden arkiverade rader är oändlig, men att tänka på "tätheten av fältlinjer" är fortfarande användbart i många applikationer. Här är ett tillvägagångssätt som förhoppningsvis kommer att klargöra saker. Låt oss tänka på det elektriska fältet för en enda laddning. Vi väljer att rita n linjer av det bara för att illustrera. I figuren, $ n = 8 $.

Tänk dig nu en sfär runt laddningen med radien $ r_1 = 1 \: \ mathrm m $. Vad är antalet densiteter per ytarea för fältlinjen vi har valt på den ytan? Uppenbarligen $$ \ rho_1 = \ frac {n} {4 \ pi r_1 ^ 2} = \ frac {8} {4 \ pi} \: \ mathrm m ^ {- 2}. $$ För en sfär med radie $ r_2 = 10m $ denna kvantitet är $$ \ rho_2 = \ frac {n} {4 \ pi r_2 ^ 2} = \ frac {8} {400 \ pi} \: \ mathrm m ^ {- 2}. $$

Hur jämför dessa antal densiteter? Vilken är större och hur mycket större är den? Observera att $$ \ frac {\ rho_1} {\ rho_2} = \ frac {\ frac {n} {4 \ pi r_1 ^ 2}} {\ frac {n} {4 \ pi r_2 ^ 2}} = \ frac {r_2 ^ 2} {r_1 ^ 2} $$ som säger att $ \ rho_1 $ är större än $ \ rho_2 $ med en faktor $ \ frac {r_2 ^ 2} {r_1 ^ 2} $ ($ = 100 $ i exemplet). Nu kommer den avgörande delen av argumentet:

Vi noterar att ovanstående förhållande är oberoende av $ n $ så om vi hade valt att rita 10, 100 eller 10 miljarder rader skulle inte ha gjort någon skillnad. Även om vi valde att ta n till oändligheten skulle resultatet ändå inte förändras eftersom det inte beror på $ n $! I den meningen är det vettigt att säga att fältlinjernas densitet minskar, även om antalet fältlinjer är oändligt.

det finns en oändlig mängd linjer som vi kan rita överallt, så vi kan inte riktigt tänka på ett område med tätare linjer.

Trots att det finns oändliga linjer där är absolut inget problem med att säga att en densitet är större än en annan. Matematiskt kan vi skriva:

$$ \ mathop {\ lim} \ limit_ {x \ to \ infty} \ left (x \ right) $$

Så vi pratar inte om sanna oändligheter men gränsen där antalet fältlinjer är godtyckligt stort. Detta har det implicita antagandet att ju större antal fältlinjer desto mer exakt är modellen.

Varför kan vi fortfarande använda ett sådant koncept?

Det finns ett begränsat antal vattenmolekyler, men de flesta vattenmodeller antar att det är en oändligt delbar kontinuerlig "vätska". Detta är den motsatta situationen där vi har ett oändligt antal rader men vi kan anta ett ändligt stort antal och få det ungefärliga rätta svaret. Ju fler fältlinjer som används desto bättre är approximationen.

Det handlar verkligen om Gauss lag:

$$ \ nabla \ cdot E = \ frac {\ rho} {\ epsilon } $$

Vilket innebär att om det inte finns några avgifter så finns det ingen skillnad i fältet. Vilket innebär att fältlinjer bara kan börja och sluta mot en laddning. Vilket är det som gör den här visualiseringen så användbar, (du kan inte bara starta och avsluta fältlinjer var som helst) om du ritar en fältlinje måste den vara en slinga eller ha ändarna vid laddningar eller i oändlighet.

En annan användbar egenskap är att en fältrad är en plats. Detta innebär att varje punkt på linjen uppfyller ett visst villkor. T.ex. en topografisk karta (bergsklättring) det finns linjer på kartan.

Dessa linjer representerar linjer av lika hög höjd, så om du går längs linjen kommer du varken att stiga eller falla i höjd . Och om du reser vinkelrätt mot linjerna kommer du att klättra i brantaste riktningen. Du kan också berätta hur långt du klättrade genom att räkna antalet rader du passerade.

Om varje linje representerar en samtycke på tio meter och du passerar fyra av dem på kartan har du klättrat fyrtio vertikala meter. För att vara mer exakt bör vi dock ha tio gånger så många linjer som var och en representerar en meter, eller ett oändligt antal linjer som representerar en oändlig höjdökning. Och om jag ska använda den senare kartan med oändliga många rader, ogiltigförklarar det idén att vissa backar är brantare än andra eftersom det finns oändliga linjer överallt. Naturligtvis inte.

Andra fältlinjer representerar annan användbar information, som elektriska fältlinjer representerar rörelsen för en gratis laddning om den placerades på den linjen (om inga andra krafter skulle agera på den).

Eller gravitationsfältlinjer som representerar linjer med lika gravitationspotential.

Men egentligen används inte fältlinjer i modeller endast i visualiseringar eftersom de är bra på att förmedla kvalitativ information. De flesta moderna modeller är helt matematiska, eftersom det är kvantitativt av natur.

det finns en oändlig mängd rader

Finns det verkligen? (Jag vet ärligt talat inte för elektriska fält, kan någon lämna en länk i kommentarer om du vet det.)

Men för magnetfält finns det ett begränsat antal fältlinjer i ett givet utrymme.

Gauss lag tillämpas på magnetfält:

$$ \ nabla \ cdot B = 0 $$

Detta anger samma som för elektriska fält, förutom att det inte finns några magnetiska monopoler för att linjerna ska börja och sluta. I.E. Magnetfältlinjer måste vara slutna slingor.

En supraledande kvantstörningsenhet drar fördel av detta genom att fånga enskilda slingor av magnetfältet genom dess supraledande slinga. (Magnetfält kan inte tränga igenom superledare.) Det finns en svag punkt tillverkad i den supraledande slingan. Det är möjligt genom störningar att upptäcka varje gång en enda fältlinje passerar genom svag punkten. Och eftersom magnetfältlinjer kvantiseras kommer det att finnas ett begränsat antal enskilda magnetfältlinjer.

Ett positivt laddat punktobjekt i rymden har fältlinjer som utgår från laddningen, detta bör föreställas i 3D-rymden. Den så erhållna figuren är en sfär.

Antag nu att jag har en sfär med radie $ r $ med massa $ M $ har en volym $ V $ har ett uttryck $ \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 $.

Sfärens densitet är $ M / V $ som har $ 1 / r ^ 3 $ beroende. Om du ökar sfärens radie minskar densiteten.

På samma sätt kan vi ta hänsyn till geometrin i fältlinjen för punktladdningen. Det är mindre tätt när avståndet ökar.

Mitt tidigare svar kom bort från den ifrågasatta punkten, min ursäkt till OP och läsare.

En fullständig beskrivning av geometrin för alla fältlinjerna i ett vektorfält är tillräcklig för att helt specificera riktningen för vektorfältet överallt. För att också avbilda storleken ritas ett urval av fältlinjer så att densiteten hos fältlinjer (antal fältlinjer per enhet vinkelrät yta) vid vilken plats som helst är proportionell mot storleken på vektorfältet vid den punkten. > Källa: Wikipedia (fältlinjer)

För att förklara med enkla ord visar fältlinjens densitet styrkan i det elektriska fältet på ett avstånd $ r $ från dess källa / diskbänk. Det är en jämförande studie av fältlinjer vid olika radiella avstånd men skulle inte ge oss den exakta fältstyrkan.

Det skulle inte ge oss den exakta fältstyrkan eftersom den beräknas av relativ densitet av fältlinjer som är godtyckligt ritade och kan variera i antal från 1 till oändlig.

Låt oss studera fältlinjedensiteter nu vid radiella avstånd $ r_1 $ och $ r_2 $
Låt $ n $ fältlinjer dras från fältets källa / sänkning

Fältlinjedensitet på avstånd "$ r_1 $" är ges som $$ \ rho_ {r_1} = \ frac {n} {4 \ pi r_1 ^ 2} $$

Fältlinjens densitet vid avstånd $ r_2 $ ges som $$ \ rho_ {r_2} = \ frac {n} {4 \ pi r_2 ^ 2} $$

Jämföra fältstyrkor vid de två avstånden $$ \ frac {\ rho_ {r_1}} {\ rho_ {r_2}} = \ frac {n} {4 \ pi r_1 ^ 2} \ frac {4 \ pi r_2 ^ 2} {n} $$ $$ \ frac {\ rho_ {r_1}} {\ rho_ {r_2}} = \ frac {r_2 ^ 2} {r_1 ^ 2} $$

Det spelar ingen roll om du gör $ n $ oändligt, tenderar att oändligt eller något annat som att ta gränser eller annars blir det avskuret och vi får en invers kvadratförhållande av fältlinjedensitet / styrka med radiellt avstånd vilket är allt vi vill visa med fältlinjedensiteten på bilden e. Det är därför den här bilden fungerar matematiskt.
Om du försöker rita oändliga linjer faktiskt måste du rita linjer med $ 0 $ tvärsnittsarea vilket inte är möjligt av någon känd man / programvara. Men om du drar mycket tunna linjer kommer du att börja få en komplett sfär med utskjutande hår (riktigt spikar) eftersom avståndet mellan de här tiklarna fortsätter att öka densiteten minskar omvänt med radien i kvadrat.

Observera den faktiska fältstyrkan vid vilket avstånd som helst är $$ E = k \ frac {Q} {r ^ 2} $$ medan fältlinjens densitet är $$ \ rho = \ frac {n} {4 \ pi r ^ 2} $$ Sedan $ k $ är en fast konstant för att få faktisk fältstyrka från fältlinjens densitet måste vi fixa $ n $ och i så fall kommer vi inte att kunna göra det oändligt.

Tillägg:
Om du måste matematiskt observera $ \ frac {\ infty} {\ infty} $ och prova det som $ \ frac {0} {0} $ som båda ger odefinierat som svar och det förväntas som du kan se när du drar $ 0 $ rader kan du omöjligt definiera fältlinjedensitet mycket läsa relativa fältlinjedensitet!

Du bör hellre behandla $ \ infty $ som ett stort stort nummer, större än alla poisibla siffror och i så fall kan du avbryta de två! Precis på samma sätt som vi representerar en mycket lång tråd eller mycket stort ark som oändligt stort, eftersom det representerar ett ENORM nummer för vårt syfte (beräkningar i närheten).

Som någon påpekade är den faktiska fördelningen kontinuerlig. Denna modell är exakt den. En modell. Faktiska oändligheter finns inte i verkligheten så att använda dem i en modell kommer bara att förstöra modellens användbarhet. Men oavsett om vi har 10 eller 10 miljarder linjer minskar densiteten med ökande radie. Så konceptet för den här modellen fungerar bara bra.